Función definida a trozos

En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Una función es diferenciable a trozos o continuamente diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos. Una función f definida a trozos puede estar representada por varias expresiones matemáticas (algebraicas y/o trascendentales) de cualquier tipo.

Notación e interpretación

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto:

$|x| \equiv f(x) = \begin{cases} -x, & \mbox{si } x < 0 \\ x, & \mbox{si } x \ge 0 \end{cases}$

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática (la función -x) es utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el resultado siempre positivo. Para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

Sea la función definida a trozos f(x), se evalúan varias expresiones del dominio de f:

x	f(x)	Función utilizada
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

Por lo tanto, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para que el valor del rango sea el correcto.

Continuidad

Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de x₀.

Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida en todo el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo.

La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en x₀.

Véase también

• Función indicatriz

Ejemplos comunes

• Valor Absoluto
• Función unitaria de Heaviside
• Función lineal definida a trozos
• Spline
• B-spline