Funciones elípticas de Weierstrass

Símbolo de la función P de Weierstrass P.

En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstrass son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf funciones elípticas de Jacobi); han sido designadas en honor al matemático Karl Weierstrass. Esta clase de funciones es también llamada funciones P y generalmente se las escribe utilizando el símbolo $\wp$ (que corresponde a una letra P estilizada, llamada P de Weierstrass).

Definiciones

La función P de Weierstrass definida sobre una porción del plano complejo utilizando una técnica usual de visualización en la cual el blanco corresponde a un polo, negro a un cero, y la máxima saturación a $\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.$ Notar la retícula regular de los polos, y dos retículas que se entrecruzan de ceros.

Se puede definir a la función elíptica de Weierstrass de tres maneras muy similares, cada una de ellas posee ciertas ventajas. Una es como una función de variable compleja z y una retícula Λ en el plano complejo. Otra es en término de z y dos números complejos ω₁ y ω₂ que definen un par de generadores, o períodos, de la retícula. La tercera es en término de z y de un módulo τ en el semiplano superior. Esta se relaciona con la definición previa mediante la siguiente expresión τ = ω₂ / ω₁, la cual en virtud de la convención usual de pares de períodos se encuentra en el semiplano superior. Utilizando este método, para un z fijo las funciones de Weierstrass resultan ser funciones modulares de τ.

Considerando los dos períodos la función elíptica de Weierstrass es una función elíptica con períodos ω₁ y ω₂ definida como

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}.$

Entonces Λ = mω₁ + nω₂ son los puntos de la retícula de período, por lo que

$\wp(z;\Lambda)=\wp(z;\omega_1,\omega_2)$

para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstrass como una función de una variable compleja y una retícula.

Si τ es un número complejo en el semiplano superior, entonces

$\wp(z;\tau) = \wp(z;1,\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}.$

La suma indicada previamente es homogenea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función $\wp$ de Weierstrass para todo par de períodos, como

$\wp(z;\omega_1,\omega_2) = \wp(z/\omega_1; \omega_2/\omega_1)/\omega_1^2.$

Bibliografía

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun, chapter 18

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Weierstrass Elliptic Function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Funciones elípticas, página de análisis complejo de Hans Lundmark.