Seno (trigonometría)

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la Hipotenusa:

$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sin(\alpha)=a \,$

En matemáticas el seno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura $\sin(\cdot)$ proviene del latín sĭnus.

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá shia (en inglés ardha-jya),^[1] siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y shiá: ‘cuerda’). Por simplicidad; el término se terminó apocopando como shiá. Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba (pronunciado shiba, lo más parecido al sánscrito). Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’). A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».^[2]

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Con números complejos

También se puede definir de la forma:

${\rm sin}(z)=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a x = 0 es:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Representación gráfica

Seno de una suma o una resta de ángulos

Seno de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos

$\forall\ \theta,\phi \in \mathbb{R}$

• Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(\phi + \theta)\right]$

• Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos\left[(\frac{\pi}{2}-\phi)-\theta)\right]$

• Aplico la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)\cos\theta+\sin(\frac{\pi}{2}-\phi)\sin\theta$

• Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométrica del ángulo completario, queda

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta$

Seno de la diferencia de dos ángulos

$\sin\left(\phi+(-\theta\right))=\sin\phi\cos(-\theta)+\cos\phi\sin(-\theta)$

• obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\sin\left(\phi-\theta\right)=\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta$

Forma resumida

$\sin\left(\phi\pm\theta\right)=\sin\phi\cos\theta\pm\cos\phi\sin\theta$

Seno de un ángulo doble

Tenemos que

$\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta$

Hagamos $\phi=\theta\,$ entonces

$\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi\cos\phi$

Derivada del seno

• Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

• lo que es

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x + h)-\sin x}{h}$

• Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}$

• Factorizando

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}$

• Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

$\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$

• Como:

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0,$ esto es así ya que

$\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

reemplazando para θ = h y ϕ = 0

Se tiene que:

$-2\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)$

y utilizando el límite conocido: $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

Se obtiene que el primer término es 0, entonces

• $\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$
• Como:

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1$

• Por ello puede simplificarse, y se tiene que

$\sin'x=\cos x\,$

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse el coseno con la siguiente expresión:

 cos(x)= sin(x + 90)

El seno en programación

Normalmente todos los lenguajes de programación proveen una función seno. Y también es lo normal en todos los lenguajes, que el ángulo que recibe la función debe pasarse en radianes.

Esto es importante tenerlo en cuenta ya que si no podrían derivarse errores por este concepto. Del mismo modo las calculadoras suelen aceptar el valor en grados o radianes, siendo necesario para ello (realizar dicho cálculo correctamente) activar un botón selector del tipo de grados (sexagesimales, centesimales o radianes) que se desea usar.

 ejemplos:
    seno de 45 grados   = 0,7071 
    seno de 45 radianes = 0,8509

Obsérvese como la escasa diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, por tanto, cuando sea conveniente pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número π

 Rad = Deg * π/180
 Deg = Rad * 180/π

Referencias

1. ↑ En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a jya como 'jiva, que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.
2. ↑ Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 

Véase también

• Teorema del seno
• Cosecante
• Arcoseno
• Coseno
• Tangente
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función impar
• Período de oscilación

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Seno» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.