Fórmula de Viète

En matemáticas, la fórmula de Viète, es una fórmula debida a François Viète, que proporciona una representación del número π como un producto infinito

$\frac2\pi= \sqrt{\tfrac12} \cdot\sqrt{\tfrac12 +\tfrac12\sqrt{\tfrac12}}\cdot\sqrt{\tfrac12 +\tfrac12 \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}}\cdot\sqrt{\tfrac12+\tfrac12\sqrt{\tfrac12 +\tfrac12 \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}}}\cdots$

La expresión anterior tiene especial relevancia por ser el primer ejemplo conocido de una expresión exacta precisa del número π, a diferencia de las aproximaciones racionales manejadas en la antigüedad.

Deducción

El área de un polígono con 2ⁿ lados, inscrito en un círculo de radio 1, es 2^n-1sen(π/2^n-1).

Aunque la fórmula anterior proporciona la primera expresión analítica para π, se obtiene mediante la aplicación de identidades trigonométricas a un razomamiento geométrico relacionado con el problema de la cuadratura del círculo

El proceso consiste en inscribir, en un círculo de radio 1, polígonos regulares de 2ⁿ lados de modo que la sucesión de las áreas resulta una aproximación sucesiva al área del círculo, igual a π.

Si a_n es el área del polígono inscrito de 2ⁿ lados entonces

$a_n = 2^{n-1}\operatorname{sen\,} (\tfrac{\pi}{2^{n-1}})$.

Por otro lado, la fórmula de seno de ángulo doble establece que

$\operatorname{sen\,} (2\theta) = 2\operatorname{sen\,} \theta\cos\theta$

y por tanto

$\operatorname{sen\,} (\tfrac{\pi}{2^{n-1}}) = 2 \operatorname{sen\,} (\tfrac{\pi}{2^n})\cos(\tfrac{\pi}{2^n})$.

Combinando ambos resultados se llega a las fórmulas:

$a_2 = a_3 \cos( \tfrac{\pi}{2^{2}})$

$\quad = a_4 \cos( \tfrac{\pi}{2^{2}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{3}})$

$\quad = a_5 \cos( \tfrac{\pi}{2^{2}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{3}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{4}})$

$\quad = \ldots$

Y como los valores de a_n (las áreas de los polígonos) se aproximan al área del círculo que vale π, se tiene

$a_2 = \pi \left( \cos( \tfrac{\pi}{2^{2}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{3}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{4}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{5}}) \cdots\right)$

El área de a₂ es el área de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 1, por lo que a₂ = 2. Así, se obtiene

$\frac{2}{\pi}= \cos( \tfrac{\pi}{2^{2}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{3}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{4}})\cos( \tfrac{\pi}{2^{5}}) \cdots$

Finalmente, la fórmula del ángulo doble para el coseno implica

$\cos(\tfrac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos \theta}$.

y como para $\tfrac{\pi}{2^2}= 45^\circ$ se cumple

$\cos(\tfrac{\pi}{2^2}) = \sqrt{\tfrac{1}{2}}$.

la sustitución repetida en la expresión para $\tfrac{2}{\pi}$ concluye la prueba.

Sin embargo, aunque la prueba anterior es geométricamente intuitiva, una demostración rigurosa involucra demostrar la convergencia de los productos infinitos, herramienta matemática que no se disponía durante la época de Viète por lo que no fue sino más de un siglo después cuando Euler proporcionó una prueba formal.

Referencias