Filtro de Kalman

El filtro de Kalman es un algoritmo desarrollado por Rudolf E. Kalman en 1960 que sirve para poder identificar el estado oculto (no medible) de un sistema dinámico lineal, al igual que el observador de Luenberger, pero sirve además cuando el sistema está sometido a ruido blanco aditivo.^[1] La diferencia entre ambos es que en el observador de Luenberger, la ganancia K de realimentación del error debe ser elegida "a mano", mientras que el filtro de Kalman es capaz de escogerla de forma óptima cuando se conocen las varianzas de los ruidos que afectan al sistema.

Cálculo básico

Caso de tiempo discreto:

Se tiene un sistema dado por:

$\quad x_k=A_{k-1} x_{k-1}+B_{k-1} u_{k-1}+w_{k-1}$

$\quad z_k=C_k x_k+v_k$

donde:

$\quad w_k$ es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza $\quad Q_k$ en el instante k.

$\quad v_k$ es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza $\quad R_k$ en el instante k.

El filtro de Kalman permite identificar el estado $\quad x_k$ a partir de las mediciones anteriores de $\quad u_k$, $\quad z_k$, $\quad Q_k$, $\quad R_k$ y las identificaciones anteriores de $\quad x_k$.

Caso de tiempo continuo:

Se tiene un sistema dado por:

$\quad \frac{d}{dt}x(t)=A(t) x(t)+B(t) u(t)+w(t)$

$\quad z(t)=C(t) x(t)+v(t)$

donde:

$\quad w(t)$ es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza $\quad Q(t)$ en el intervalo de tiempo descrito como t.

$\quad v(t)$ es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza $\quad R(t)$ en el intervalo de tiempo descrito como t.

El filtro de Kalman permite identificar el estado $\quad x(t+dt)$ a partir de las mediciones anteriores de $\quad u(t)$, $\quad z(t)$, $\quad Q(t)$, $\quad R(t)$ y las identificaciones anteriores de $\quad x(t)$.

Extensibilidad

En el caso de que el sistema dinámico sea no-lineal, es posible usar una modificación del algoritmo llamada "filtro de Kalman extendido", el cual linealiza el sistema en torno al $\hat x(t)$ identificado realmente, para calcular la ganancia y la dirección de corrección adecuada. En este caso, en vez de haber matrices A, B y C, hay dos funciones f(x,u,w) y h(x,v) que entregan la transición de estado y la observación (la salida contaminada) respectivamente. El modelo lineal dinámico con observación nolineal y no-Gausiano se estudia en este caso. Se extiende el teorema de Masreliez (ver. C. Johan Masreliez (1975)) como una aproximación de filtrado no-Gausiano con ecuación de estado lineal y ecuación de observaciones también lineal, al caso en que la ecuación de observaciones nolineal pueda aproximarse mediante la extensión de Taylor de segundo orden. ^[2]

Aplicaciones

• Interfaz Cerebro Computadora
• Sistema global de navegación por satélite

Véase también

• Filtro adaptativo
• Filtro de Wiener
• Teorema de Bayes
• Teorema de Shannon-Hartley

Notas

1. ↑ Kalman, R. E.; A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering Vol. 82: pag. 35-45 (1960).
2. ↑ T. Cipra & A. Rubio; Kalman filter with a non-linear non-Gaussian observation relation, Springer (1991).

Enlaces externos

• Introducción al filtro de Kalman
• Filtro de Kalman
• Explicación en castellano (pdf)
• Otra explicación en castellano (pdf)
• Detección de Burbujas Inmobiliarias, por J F Bellod