Materia degenerada

Se denomina materia degenerada a aquella en la cual una fracción importante de la presión proviene del principio de exclusión de Pauli, que establece que dos fermiones no pueden tener los mismos números cuánticos.

Dependiendo de las condiciones, la degeneración de diferentes partículas puede contribuir a la presión de un objeto compacto, de modo que una enana blanca está sostenida por la degeneración de electrones, mientras que una estrella de neutrones no colapsa debido al efecto combinado de la presión de neutrones degenerados y la presión debida a la parte repulsiva de la interacción fuerte entre bariones.

Estas restricciones en los estados cuánticos hacen que las partículas adquieran momentos muy elevados ya que no tienen otras posiciones del espacio de fases donde situarse, se puede decir que el gas al no poder ocupar más posiciones se ve obligado a extenderse en el espacio de momentos con la limitación de la velocidad c. Así pues, al estar tan comprimida la materia los estados energéticamente bajos se llenan en seguida por lo que muchas partículas no tienen más remedio que colocarse en estados muy energéticos lo que conlleva una presión adicional de origen cuántico. Si la materia está lo suficientemente degenerada dicha presión dominará, con mucho, sobre todas las demás contribuciones. Esta presión es, además, independiente de la temperatura y únicamente dependiente de la densidad.

Hacen falta grandes densidades para llegar a los estados de degeneración de la materia. Para la degeneración de electrones se requerirá de una densidad en torno a los 10⁶ g/cm³, (1000 kg/cm³) para la de los neutrones hará falta mucha más aún, aproximadamente 10¹⁴ g/cm³ (100.000 Toneladas/cm³).

Tratamiento matemático de la degeneración

Para calcular el número de partículas del mundo fermiónico en función de su momento se usará la distribución de Fermi-Dirac (ver estadística de Fermi-Dirac) de la siguiente manera:

$n(p)dp=2 \cdot \frac{4\pi p^2dp}{h^3} \cdot \frac{1}{1+ exp \left ( \frac{E_p}{KT}-\psi \right )}$

Donde n(p) es el número de partículas con momento lineal p. El coeficiente inicial 2 es la doble degeneración de espín de los fermiones. La primera fracción es el volumen del espacio de fases en un diferencial de momentos partido por el volumen de una celda en dicho espacio. La h³ es la constante de Planck al cubo que, como se ha dicho, significa el volumen de esas celdillas en las que caben hasta dos partículas con espines de positos u opuestos. El último término fraccionario es el denominado factor de llenado. K es la constante de Boltzmann, T la temperatura, E_p la energía cinética de una partícula con momento p y ψ el parámetro de degeneración que es dependiente de la densidad y la temperatura.

• El factor de llenado indica la probabilidad de que esté lleno un estado. Su valor está comprendido entre 0 (todos vacíos) y 1 (todos llenos).

• El parámetro de degeneración indica el grado de degeneración de las partículas. Si toma valores grandes y negativos la materia estará en un régimen de gas ideal. Si está próximo a 0 la degeneración se empieza a notar. Se dice que el material está parcialmente degenerado. Si el valor es grande y positivo el material está altamente degenerado. Esto sucede cuando las densidades son elevadas o también cuando las temperaturas son bajas.

De esta ecuación se pueden deducir las integrales del número de partículas, la presión que ejercen y la energía que tienen. Estas integrales solo es posible resolverlas analíticamente cuando la degeneración es completa.

$n=\int_{0}^{\infty}n(p)dp \qquad P=\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}n(p)v_ppdp \qquad U=\int_{0}^{\infty}E_pn(p)dp$

El valor de la energía de las partículas dependerá de la velocidad de las partículas es decir de si se tiene un gas relativista o no. En el primer caso se usarán ya las ecuaciones de Einstein en el seguno valdrá la aproximación clásica. Como se puede ver las relaciones energía presión varían significativamente siendo mayores las presiones obtenidas con la degeneración completa no relativista. Es lógico ya que la materia relativista es más caliente.

• Materia degenerada no relativista (NR): $v <\!<c \qquad p=m_ev \qquad E_p=\frac{p^2}{2m_e} \qquad U=\frac{3}{2}P$
• Materia degenerada extremadamente relativista (ER): $v \simeq c \qquad p \simeq m_ec \qquad E_p \simeq pc \qquad U=3P$

Las estrellas típicas con degeneración son las enanas blancas y las enanas marrones sostenidas por electrones y las estrellas de neutrones sostenidas por neutrones degenerados. Se considera que su temperatura tiende a 0 ya que no poseen fuente de calor alguna. Supondremos dichos cuerpos con un parámetro de degeneración tendiente a +infinito.