Espacio tangente


Espacio tangente

Espacio tangente

El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamdo fibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de la dimensión de la variedad de entrada.

Ilustración del espacio tangente \scriptstyle T_xM y un vector tangente \scriptstyle v\in T_xM obtenido utilizando una curva que pasa por un punto \scriptstyle x\in M

Definiciones

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva \scriptstyle \gamma en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: \scriptstyle x\in M. Es decir un mapeo \scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M diferenciable que satisface \scriptstyle \gamma(0)=x y \scriptstyle \gamma'(0)=v. Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente \scriptstyle T_xM de x en M.

Obtenido de "Espacio tangente"

Wikimedia foundation. 2010.

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