Elemento maximal

Elemento maximal

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En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P que no es menor que ningún otro. El término elemento minimal se define de manera dual.

Definición

Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado; m ∈ P es un elemento maximal de P si el único x ∈ P tal que m ≤ x es x = m.

La definición de elemento minimal se obtiene reemplazando ≤ por ≥.

Propiedades

A primera vista parecería que m debería ser un elemento máximo, lo que no es siempre cierto: la definición de elemento maximal es algo más débil. De hecho, pueden existir elementos maximales sin que haya un máximo. La razón es que, en general, ≤ es sólo un orden parcial en P; si m es un maximal y p ∈ P, cabe la posibilidad de que ni p ≤ m ni m ≤ p, con lo que m no sería máximo. Esto permite, además, que haya más de un elemento maximal en un conjunto.

Sin embargo, si m ∈ P es maximal y P tiene un máximo, se cumplirá que máx(P) ≤ m; por definición de máximo se debe tener m ≤ máx(P) y por lo tanto m = máx(P); en otras palabras, un máximo, si existe, es también el único maximal.

No es difícil ver que si ≤ es un orden total en P, las nociones de máximo y maximal coinciden: sean m ∈ P un elemento maximal, y p ∈ P arbitrario; por la condición de orden total, o bien p ≤ m o bien m ≤ p; en el segundo caso se tendría p = m por definición de maximal, con lo cual p ≤ m, y por consiguiente, m = máx(P).

No siempre existen los elementos maximales, ni siquiera en el caso en que P esté totalmente ordenado.

Ejemplos

• Sea P = [0, ∞[ ⊆ R. Para todo m ∈ P se tiene x = m + 1 ∈ P pero m < x, con lo que ningún m puede ser maximal.
• Sea P = {q ∈ Q | 1 ≤ q² ≤ 2}; puesto que la raíz cuadrada de 2 no es racional, este conjunto no tiene elemento maximal.
• Sea A un conjunto con al menos dos elementos, y sea P = {{a} | a∈A}, parcialmente ordenado por inclusión. Todo elemento de P es a la vez maximal y minimal, y para cualesquiera {a}, {b} ∈ P distintos, ni {a} ⊆ {b}, ni {b} ⊆ {a} (con lo que no hay elemento máximo).
• Sea P = {(x,y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, tomando (a, b) ≤ (c, d) si a ≤ c y b ≤ d. Entonces P tiene un único elemento maximal, (4,4), que a la vez es máximo.

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