Doble producto vectorial

Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión $\,\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right)$   o  $\,\left(\mathbf A \times \mathbf B \right) \times \mathbf C$ ; esto es, al producto vectorial de dos vectores que se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Propiedades

Regla del Chanchito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

El producto vectorial de tres vectores a la expresión $\, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right)$ es un vector contenido en el plano definido por los vectores $\mathbf B$ y $\mathbf C$, ya que puede demostrarse que se verifica

$\, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) = \mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)- \mathbf C \left( \mathbf A \cdot\mathbf B\right)$

Evidentemente, el producto vectorial no tienen la propiedad asociativa, ya que

$\, \left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C = -\mathbf C \times \left(\mathbf A \times \mathbf B \right) = \mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)- \mathbf A \left( \mathbf B \cdot\mathbf C\right)$

es un vector contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

$\, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) \neq \left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C$

resultando fundamental la colocación de los paréntesis.

Identidad de Jacobi: $\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0$

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

$\, \mathbf{A} \times (\mathbf{B}\times \mathbf{C}) = \varepsilon_{ijk} A^j \varepsilon_{k\ell m} B^\ell C^m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} A^j B^\ell C^m$

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

$\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ & {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplaciano } \mathbf{f}. \end{align}$

Ésto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Véase también

• Producto vectorial
• Producto escalar
• Producto mixto

Referencias

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004) (en español). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004) (en inglés). Physics for Scientists and Engineers (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Vector Triple Product» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.