Distribución binomial negativa

Distribución binomial negativa

Distribución binomial negativa

Binomial negativa
Función de probabilidad
Negative binomial.svg
La línea roja representa la media, y la verde tiene una longitud de aproximadamente 2σ.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros r > 0\! (real)
0<p<1\! (real)
Dominio k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Función de probabilidad (fp) \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
Función de distribución (cdf) Ip(r,k + 1) donde Ip(x,y) es la función beta incompleta regularizada
Media r\,\frac{1-p}{p}
Mediana
Moda \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1
0\text{ if }r\leq 1
Varianza r\,\frac{1-p}{p^2}
Coeficiente de simetría \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
Curtosis \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
Función característica \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ.

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades

Su función de probabilidad es

\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}

para enteros x mayores o iguales que k, donde

\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!x!}.

Su media es

\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}

si se piensa en el número de fracasos únicamente y

\!\mu = \frac{{k}}{\theta}

si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su varianza es

\!\sigma ^2  = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}

en ambos casos.

Ejemplos

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

\!x = 10, k = 3, \theta = 0,\!40

La solución es:

\!b^*(10;3,0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^3(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^3(0,\,6)^{7}=0,\!0645

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Wikimedia foundation. 2010.

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