Discriminante

Discriminante

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En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

$ax^2+bx+c\,$       es       $b^2-4ac\,$.

El discriminante del polinomio cúbico

$ax^3+bx^2+cx+d\,$       es       $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,$.

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se desvanece si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

El discriminante de un polinomio

El discriminante de los polinomios cuadráticos

El polinomio cuadrático P(x) = ax² + bx + c tiene discriminante D = b² − 4ac, que es la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado. Dados los números reales a, b, c, se tiene:

• Cuando D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.
• Cuando D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$, y su representación es tangente al eje de abscisas.
• Cuando D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas.

El discriminante de los polinomios cúbicos

El polinomio cúbico

ax³ + bx² + cx + d       tiene discriminante       b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd.

Los polinomios más simples tienen discriminantes con expresiones más simples. Por ejemplo el polinomio mónico cuadrático

x² + bx + c       tiene discriminante       b² − 4c.

el polinomio mónico cúbico

x³ + bx² + cx + d       tiene discriminante       b²c² − 4c³ − 4b³d − 27d² + 18bcd.

El polinomio mónico cúbico sin término cuadrático

x³ + cx + d       tiene discriminante       − 4c³ − 27d².

Caso general

El discriminante del polinomio general

$p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0$

es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n − 1)×(2n − 1) (Véase también: matriz de Sylvester)

$\left(\begin{matrix} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 \\ \end{matrix}\right)$

El determinante de esta matriz se conoce como el resultante de p(x) y p'(x), notación R(p,p'). El discriminante D(p) de p(x) viene dado por

$D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,$.

Por ejemplo, en el caso n = 4, el determinante es

$\begin{vmatrix} & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ & 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\ \end{vmatrix}$

El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por a₄.

De forma equivalente, el discriminante es igual a

$a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}$

donde r₁,..., r_n son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x):

$\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\ &=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}$

Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).

El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raíces r_i sigue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.

Discriminante de una sección cónica

Para una sección cónica definida por el polinomio real:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f= 0,

el discriminante es igual a

b² − 4ac,

y determina la forma de la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse una circunferencia. Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola. Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola. Esta fórmula no funciona en los casos degenerados (cuando el polinomio se factoriza).

Discriminante de una forma cuadrática

Hay una generalización de las formas cuadráticas Q sobre cualquier cuerpo K de característica ≠ 2. Pueden expresarse como la suma de términos

a_iL_i²

donde los términos L_i son formas lineales y 1 ≤ i ≤ n donde n es el número de variables. Entonces el discriminante es el producto de a_i, tomado en K/K², y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de una matriz simétrica para Q.

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