Diferencia de conjuntos


Diferencia de conjuntos
No debe confundirse con Diferencia simétrica.
La diferencia entre los conjuntos A y B (y viceversa) es otro conjunto con todos los elementos del "minuendo", salvo los contenidos en el "sustraendo".

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
P = {2, 4, 6, 8,...}
I = {1, 3, 5, 7, ...}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó AB, por lo que: N \ P = I, y también PN = ∅.

Contenido

Definición

SetDifferenceA.svg
SetDifferenceB.svg
Diferencia entre los conjuntos A y B, y viceversa.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A \ B es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están en B:

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también AB) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

x\in A\setminus  B\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\in A\text{ pero }x\notin B

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota AB, cuando el segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida. [cita requerida]

Ejemplo.

  • Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}
  • Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.
  • En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

A − ∅ = A
  • La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:
AA = ∅

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

  • La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:
AB = ∅ si y sólo si AB
  • La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si sólo si ambos conjuntos son disjuntos:
AB = A si y sólo si AB = ∅

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:

Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, pero su unión es el primero de los conjuntos iniciales:

(AB) ∩ (A \ B) = ∅, pero (AB) ∪ (A \ B) = A

Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) partición de A.

La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo:

A = U \ A

Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B respecto de A: A \ B es el complemento absoluto de B, considerando a A como el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:

A \ B = AB

Véase también

Bibliografía

  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Diferencia de conjuntos — Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Llamamos conjunto diferencia de A y B y lo representamos por A B, al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no en B. A saber: A B …   Enciclopedia Universal

  • Teoría de conjuntos — Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de… …   Wikipedia Español

  • Álgebra de conjuntos — En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc. Contenido 1 Conjuntos 2 Operaciones con conjuntos 3 Referencias …   Wikipedia Español

  • Número cardinal (teoría de conjuntos) — Este artículo trata sobre números cardinales en teoría de conjuntos axiomática. Para una introducción más básica, véase Número cardinal. Comparación de los cardinales numerable y continuo. Cada sucesión binaria, compuesta por una cantidad… …   Wikipedia Español

  • Unión de conjuntos — La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de… …   Wikipedia Español

  • Número ordinal (teoría de conjuntos) — Este artículo trata sobre números ordinales en teoría de conjuntos axiomática. Para una introducción más básica, véase Número ordinal. Representación del ordinal ωω. Cada vuelta alrededor de esta espiral representa una potencia entera de ω: la… …   Wikipedia Español

  • Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel — La teoría de conjuntos de von Neumann Bernays Gödel (NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en ZF. A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable.… …   Wikipedia Español

  • Teoría de conjuntos de Morse-Kelley — La teoría de conjuntos de Morse Kelley (MK) es una teoría axiomática de conjuntos. Es similar a la teoría de Von Neumann Bernays Gödel, pero MK es más potente y no son equivalentes. Contenido 1 Axiomas 1.1 Ontología y notación 1.2 Axiomas… …   Wikipedia Español

  • Subconjunto — En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A está contenido dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B. Contenido 1… …   Wikipedia Español

  • Imagen inversa — La imagen inversa de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.[1] Observemos que es una …   Wikipedia Español


Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.