Ecuación paramétrica

Ecuación paramétrica

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Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.

En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Se conoce como Parametrización a la representación de una curva o superficie como imagen de una función vectorial. Su importancia radica en que permite tratar como funciones a curvas que no lo son si se las considera dentro del Sistema de coordenadas clásico, como por ejemplo las circunferencias y elipses. Aún así, es también utilizable para facilitar cálculos en sistemas de 4 o más variables, que no poseen representación gráfica.

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de la misma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la expresión (x,f(x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo

Dada la ecuación Y = X², una parametrización tendrá la forma $\begin{cases} X = u (t) \\ Y = v (t) \end{cases}$

Una parametrización posible sería $\begin{cases} X = t \\ Y = t^2 \end{cases}$

Que se puede expresar como la función $\ (X,Y) = ( t , t^2)$, con $t \in \mathbb{R}$

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U² sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primer parametrización cuando T = 2, y en el segundo cuando U = 1

Curvas notorias

Circunferencia

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X² + Y² = r²

Una expresión paramétrica es $\begin{cases} X = r \cos t \\ Y = r \sin t \end{cases}$

Elipse

Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que intersecte al eje X en 2 y -2, y al eje Y en 3 y -3, verifica que $\frac{X^2}{4} + \frac{Y^2}{9} =1$

Una expresión paramétrica es $\begin{cases} X = 2 \cos t \\ Y = 3 \sin t \end{cases}$

Representación paramétrica de una curva

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma $e_i=f_i(t),\,f_i:[a,b] \rightarrow {\rm I\!R}$, donde e_i representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto $a \leq t < b$ le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.

Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial $\vec{r}(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t)\hat{e}_i = f_1(t)\hat{e}_1 + f_2(t)\hat{e}_2 + \dots + f_n(t)\hat{e}_n$, donde ê_i representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma $\vec{r}(t) = {\rm cos}(t)\hat{i} + {\rm sen}(t)\hat{j}$.

Representación paramétrica de una superficie

Una superficie en un espacio n-dimensional se representa mediante n funciones de 2 variables u y v (funciones de dos parámetros) de forma semejante a una curva, esto es, funciones de la forma $e_i = f_i(u,v), f_i: [a,b] \times [m,n] \rightarrow {\rm I\!R}$ (si consideramos la superficie como representada por puntos con coordenadas reales), en que e_i representa la i-ésima coordenada de cada punto en el espacio de n dimensiones.

Véase también

• Geometría analítica

Enlaces externos

• Cómo parametrizar una linea. (en inglés - gráficos interactivos)
• La ecuación de la curva mariposa en la Wikipedia (en inglés).

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