Mecanismo de cuatro barras

Mecanismo de cuatro barras.

En ingeniería mecánica un mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado es un mecanismo formado por tres barras móviles y una cuarta barra fija (por ejemplo, el suelo), unidas mediante nudos articulados (union de revoluta o pivotes). Las barras móviles están unidas a la fija mediante pivotes. Usualmente las barras se numeran de la siguiente manera:

• Barra 2. Barra que proporciona movimiento al mecanismo.
• Barra 3. Barra superior.
• Barra 4. Barra que recibe el movimiento.
• Barra 1. Barra imaginaria que vincula la unión de revoluta de la barra 2 con la unión de revoluta de la barra 4 con el suelo.

Ley de Grashof

Artículo principal: Ley de Grashof

La Ley de Grashof es una fórmula utilizada para analizar el tipo de movimiento que hará el mecanismo de cuatro barras: para que exista un movimiento continuo entre las barras, la suma de la barra más corta y la barra más larga no puede ser mayor que la suma de las barras restantes.

Análisis de posición

Por mediciones físicas fácilmente se pueden tener las longitudes de las barras 1, 2, 3, 4. Ya que la barra 1 es estacionaria, su ángulo es fijo. Se dice que el ángulo de la barra 2 con respecto a la horizontal es una variable controladora. Por lo tanto, las incógnitas serán los ángulos de las barras 3 y 4.

Ecuación vectorial:

$\bar l_2 + \bar l_3 = \bar l_1 + \bar l_4$

$l_2 \cos \theta\ _2i + l_2 \sin \theta\ _2j + l_3 \cos \theta\ _3i + l_3 \sin \theta\ _3j = l_1 \cos \theta\ _1i + l_1 \sin \theta\ _1j + l_4 \cos \theta\ _4i + l_4 \sin \theta\ _4j$

Separando las ecuaciones en dirección "i" y dirección "j"

Ecuación en "i": $l_2 \cos \theta\ _2 + l_3 \cos \theta\ _3 = l_1 \cos \theta\ _1 + l_4 \cos \theta\ _4$
Ecuación en "j": $l_2 \sin \theta\ _2 + l_3 \sin \theta\ _3 = l_1 \sin \theta\ _1 + l_4 \sin \theta\ _4$

Como se conocen el ángulo de la barra 2 y el ángulo de la barra 1, es posible simplificar realizando los siguientes cambios de variable:

$A = l_2 \cos \theta\ _2 - l_1 \cos \theta\ _1$

$B = l_2 \sin \theta\ _2 - l_1 \sin \theta\ _1$

Con lo cual queda el sistema de ecuaciones como:

$A + l_3 \cos \theta\ _3 = l_4 \cos \theta\ _4$

$B + l_3 \sin \theta\ _3 = l_4 \sin \theta\ _4$

Al elevar los términos al cuadrado y sumar ambas ecuaciones, teniendo en cuenta que $\cos ^2 \theta\ + \sin ^2 \theta\ = 1$, se simplifica de la siguiente manera:

$A^2 + 2Al_3 \cos \theta\ _3 + B^2 + 2Bl_3 \sin \theta\ _3 + l_3^2 = l_4^2$

$A \cos \theta\ _3 + B \sin \theta\ _3 = \frac { l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2 } { 2l_3 }$

Es posible volver a simplificar realizando el siguiente cambio de variable:

$C = \frac { l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2 } { 2l_3 }$

Utilizando las identidades trigonométricas

$\sin \theta\ = \frac { 2 \tan \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ }$, $\cos \theta\ = \frac { 1 - \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ }$

y sustituyendo las identidades en la ecuación:

$\frac {A \left ( 1 - \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ _3 \right ) + B \left ( 2 \tan \frac {1} {2} \theta\ _3 \right ) } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ _3 } = C$

se obtiene una ecuación cuadrática. Al usar la fórmula general para resolver el sistema se obtiene:

$\tan \frac{1}{2} \theta\ _3 = \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - C^2}}{C+A}$

El valor para el ángulo de la barra 3 es el siguiente:

$\theta\ _3 = 2 \ tan ^ {-1} \left ( \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - C^2}}{C+A} \right )$

Para obtener el valor del ángulo de la barra 4 es el mismo procedimiento, definiendo el siguiente cambio de variable:

$D = \frac { l_3^2 - l_4^2 - A^2 - B^2 } { 2l_4 }$

El valor del ángulo de la barra 4 resulta:

$\theta\ _4 = 2 \ tan ^ {-1} \left ( \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - D^2}}{D+A} \right )$

NOTA: los dos valores que se pueden obtener para cada ángulo representan las diferentes configuraciones del sistema.

Análisis de velocidad

Este mecanismo debe analizarse mediante el método de la velocidad relativa

Datos de entrada

• El único dato referido a velocidad que se conoce en un mecanismo de cuatro barras es la velocidad angular de la barra 2.
• Mediante un análisis previo de posición se conoce la información de las barras.

Para el análisis se procederá a buscar la velocidad del punto B (unión de la barra 3 y 4). Para este punto existen dos trayectorias posibles: desde $O_2 \,$ hasta B y desde $O_4 \,$ hasta B. Para comenzar se define la velocidad de B con respecto a la barra 4

$\bar V_B = \bar \omega\ _4 \times\ \bar l_4 = \omega\ _4 l_4 \cos \theta\ _4 \hat j - \omega\ _4 l_4 \sin \theta\ _4 \hat i$

Ahora se definirá la velocidad del punto B con respecto a la otra trayectoria.

$\bar V_B = \bar V_{B|A} + \bar V_{A} = \bar \omega\ _3 \times\ \bar l_3 + \bar \omega\ _2 \times\ \bar l_2$

$\bar V_B = \omega\ _3 l_3 \cos \theta\ _3 \hat j - \omega\ _3 l_3 \sin \theta\ _3 \hat i + \omega\ _2 l_2 \cos \theta\ _2 \hat j - \omega\ _2 l_2 \sin \theta\ _2 \hat i$

Igualando las ecuaciones para $\bar V_B \,$ y separando los componentes, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$\hat i \Rightarrow - \omega\ _4 l_4 \sin \theta\ _4 = - \omega\ _3 l_3 \sin \theta\ _3 - \omega\ _2 l_2 \sin \theta\ _2$

$\hat j \Rightarrow \omega\ _4 l_4 \cos \theta\ _4 = \omega\ _3 l_3 \cos \theta\ _3 + \omega\ _2 l_2 \cos \theta\ _2$

Análisis de aceleración

Este mecanismo debe analizarse mediante el método de aceleración relativa las formulas son:

Simuladores gratuitos

Simulador de 4 Barras Gráfica la posición, velocidad y aceleración. (Solo para windows)

KIMA(R) v2.5 Suite de programas para calcular la posición, velocidad y aceleración de los mecanismos: cuatro barras, manivela corredera e inversiòn tipo I de manivela corredera. Funciona en modo interactivo y en modo paramétrico, facilitando la interacción con MatLab(R). Uso libre para fines académicos.

Véase también

• Mecanismo
• Ley de Grashof