Convenio de sumación de Einstein

El convenio de sumación de Einstein, notación de Einstein o notación indicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - Σ ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.^[1] Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición

Dada una expresión lineal en $\mathbb{R}^n$ en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

$\mathbf{u}=u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3 +\cdots +u_nx_n$

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

$\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u_ix_i$

La notación de Einstein obtiene una expresión aúm más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.^[2]

$\mathbf{u}=u_ix_i$

Indices

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

$k_i x_i\!$

$\mathbf{v}_i = v_{ij}x_{j}$

$c_{ijk}e_ie_je_k\!$

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:^[3]

$x_iy_iz_i\!$

$a_mx_{mj}y_{mk}\!$

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en $\mathbb{R}^4$

$\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3$

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:^[4]

$\mathbf{A} = A_ie_i\!$

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.^[2]

$s_r = a_rx_i + b_rx_j + c_r - 1 \!$

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

$s_1 = a_1x_i + b_1x_j + c_1 - 1 \!$

$s_2 = a_2x_i + b_2x_j + c_2 - 1 \!$

$s_3 = a_3x_i + b_3x_j + c_3 - 1 \!$

Representaciones Vectoriales

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos en una columna e índices subcritos para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

$\mathbf{u} = u_i = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}\ \ \mathrm{para} \ \ i = 1, 2, 3, \ldots , n$

representa 1 x n vector fila y

$\mathbf{v} = v^j = \begin{bmatrix} u^1 \\ u^2 \\ \vdots \\ u^n \end{bmatrix} \ \ \mathrm{para} \ \ j = 1, 2, 3, \ldots , n$

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

Representación Matricial

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna u por vectores fila v:

$\mathbf{A} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$

En la notación de Einstein, se tiene que:

${A^i}_j = u^i v_j = {(u\otimes v)^i}_j$

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

Véase también

• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Cálculo tensorial
• Notación bra-ket

Referencias

1. ↑ Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html. 
2. ↑ ^{a b} Reddy, J. N. (2008) (en inglés). An Introduction to Continuum Mechanics With Applications. United States of America: Cambridge University Press. pp. 18 - 19. ISBN 9780511480362. 
3. ↑ Lai, Michael; Rubin, David; Krempl, Erhard (1999) (en inglés). Introduction to Continuum Mechanics (3ra. edición). United States of America: Butterworth Heinemann. pp. 6-7. ISBN 0750628944. 
4. ↑ Romero, Ignacio (20 de septiembre de 2004) (PDF). Ingeniería Geológica: Mecánica de Medios Continuos. http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf. 

• Rawlings, Steve (01-02-2007). Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities. Oxford University. http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~sr/lectures/vectors/lecture10final.pdf.