Conjunto infinito


Conjunto infinito

En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es un conjunto que no es finito. Algunos ejemplos son:

  • Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto infinito y numerable.
  • Los puntos en una recta, representados por un número real, forman un conjunto infinito y no numerable.

Definición. Propiedades

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ..., n}, donde n es un número natural. Esto significa que podemos emparejar los elementos de A y los de {1, 2, 3, ..., n} sin que sobre ninguno. Si un conjunto no verifica esto entonces es infinito:

Un conjunto infinito es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún número natural n.

Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:

  • La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito.
  • Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.
  • El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.

El cardinal de un conjunto finito es un número natural, y cualquiera de sus subconjuntos es finito y con menor número de elementos. A los conjuntos infinitos les ocurre lo contrario:

Un conjunto infinito A tiene subconjuntos propios S tales que S y A pueden ponerse en correspondencia biyectiva.

En realidad esta propiedad depende de los axiomas que se asuman para los conjuntos (véase más abajo).

Aunque ningún número natural se corresponde con el número de elementos de un conjunto infinito, se pueden "contar" la cantidad de dichos elementos usando números transfinitos. Puede entenderse entonces que los conjuntos infinitos "más pequeños" son los conjuntos numerables, como el conjunto de los números naturales.

Aspectos formales

En teoría axiomática de conjuntos, puede definirse con precisión el concepto de número natural, como aquellos ordinales sucesores menores que cualquier ordinal límite. De este modo, identificando los cardinales finitos con los números naturales así definidos, se obtiene la definición usual de conjunto finito o infinito: aquel cuyo cardinal sea o no un número natural. En otras palabras:

Un conjunto es finito si es bien ordenable y cada subconjunto no vacío, además de tener mínimo (por ser bien ordenable), tiene máximo.

La definición propuesta históricamente por Dedekind se basa en la propiedad mencionada anteriormente: un conjunto A es Dedekind-infinito si existe una aplicación f : AA inyectiva y no suprayectiva. Es posible demostrar que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito "ordinario", y equivalentemente que todo conjunto finito "ordinario" es Dedekind-finito.

Sin embargo, para demostrar la implicación inversa y establecer la equivalencia entre ambos conceptos es necesario adoptar el axioma de elección o una versión más débil, como el axioma de elección numerable. En cualquier caso, la equivalencia entre infinitud e Dedekind-infinitud es una propiedad más débil que ambos axiomas.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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