Conjunto abierto

En topología y los temas relacionados de las matemáticas, un conjunto U se llama abierto si, intuitivamente hablando, se puede "menear" o "cambiar" cualquier punto x en U en una cantidad pequeña en cualquier dirección y todavía permanecer interior a U. Es decir si x está rodeado solamente por los elementos de U; no puede estar en el borde de U.

Como ejemplo típico, considere el intervalo abierto (0, 1) que consiste en todos los números reales x con 0 < x < 1. Si se "menea" tal x un poco (pero no demasiado), entonces la versión meneada todavía será un número entre 0 y 1. Por lo tanto, el intervalo (0, 1) es abierto. Sin embargo, el intervalo (0, 1] que consiste en todos los números x con 0 < x ≤ 1 no es abierto; si se toma x = 1 y menea un poquito en la dirección positiva, se estará fuera de (0, 1].

Observe que el que un conjunto dado U sea abierto depende del espacio circundante, el "cuarto de juegos". Por ejemplo, el conjunto de los números racionales entre 0 y 1 (exclusivo) es abierto en los números racionales, pero no es abierto en los números reales. Observe también que "abierto" no es el contrario de cerrado. Primero, están los conjuntos que son ambos abiertos y cerrados (llamados conjuntos clopen); en R y otros espacios conexos, solamente el conjunto vacío y el espacio entero son clopen, mientras que el conjunto de todos los números racionales más pequeños que √2 es clopen en los números racionales. También, hay conjuntos que son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo (0, 1] en R.

Definiciones

El concepto de conjunto abierto se puede formalizar con varios grados de generalidad, entre ellos:

Geometría

Un subconjunto U perteneciente al conjunto Rⁿ se llama abierto cuando todos los puntos P de U son interiores.

Espacio euclídeo

Un subconjunto U de un espacio euclídeo n-dimensional Eⁿ se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tal que, dado cualquier punto y en Eⁿ cuya distancia euclidiana de x sea más pequeña que ε, y también pertenece a U. De forma equivalente, U es abierto si cada punto en U tiene un entorno contenido en U.

Intuitivamente, la ε mide el tamaño de los "meneos permitidos".

Un ejemplo de un conjunto abierto en E² (en un plano) sería todos los puntos dentro de un círculo de radio r, que satisfacen la ecuación $r>\sqrt{x^2+y^2}$.

Porque la distancia de cualquier punto p en este conjunto al borde del conjunto es mayor que cero: $r-\sqrt{x^2+y^2}>0$, podemos fijar el ε a la mitad de esta distancia, que significa que el ε es también mayor de cero, y todos los puntos que están a una distancia ε de p estén también en el conjunto, satisfaciendo así las condiciones para un conjunto abierto.

Espacios métricos

Un subconjunto U de un espacio métrico (M, d) se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tales que, dado cualquier punto y en M con d(x, y) < ε, y también pertenece a U. (equivalente, U es abierto si cada punto en U tiene una vecindad contenida en U)

Esto generaliza el ejemplo euclidiano del espacio, puesto que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.

Espacios topológicos

En espacios topológicos, el concepto de apertura se toma como fundamental. Uno comienza con un conjunto arbitrario X y una familia de subconjuntos de X que satisfacen ciertas propiedades que cada noción "razonable" de apertura se supone tener. (específicamente: la unión de conjuntos abiertos es abierta, la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, y en particular el conjunto vacío y X mismo son abiertos.) Tal familia T de subconjuntos se llama una topología en X, y se llama a los miembros de la familia los conjuntos abiertos del espacio topológico (X, T).Un conjunto se llama cerrado si su complemento en X es abierto.

Definición

Sea X un conjunto no vacío y T una familia de subconjuntos de X.T es una topología en X si cumple los siguientes axiomas.

• X y el conjunto vacío {} están en T.
• La intersección de un número finito de miembros de T está en T.
• La unión de cualquier número de elementos de T está en T.

Con estas precisiones, al par (X,T) se denomina espacio topológico y a los miembros de T se los nombra abiertos en el espacio topologico (X,T). Ver el libro Topología de un pool de autores de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense.

Esto generaliza la definición métrica del espacio: Si se comienza con un espacio métrico y define conjuntos abiertos como antes, entonces la familia de todos los conjuntos abiertos formará una topología en el espacio métrico. Cada espacio métrico es por lo tanto de una manera natural un espacio topológico. (Hay sin embargo espacios topológicos que no son espacios métricos).

Propiedades

• El conjunto vacío es abierto y cerrado a la vez.
• La unión de cualquier número de conjuntos abiertos es abierta.
• La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.

Aplicaciones

Cada subconjunto A de un espacio topológico X contiene a un (tal vez vacío) conjunto abierto; el más grande de tales conjuntos abiertos se llama el interior de A. Puede ser construido tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A.

Dados espacios topológicos X y Y, una función f de X a Y es función continua si la preimagen de cada conjunto abierto en Y es abierto en X. La función f se llama función abierta si la imagen de cada conjunto abierto en X es abierta en Y.

Un conjunto abierto en la recta real tiene la propiedad de ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.

Variedades

Una variedad se llama abierta si es una variedad sin borde y si no es compacta. Esta noción se diferencia algo de la apertura discutida más arriba.

Bibliografía

• Mansfield, M.J.(1974) Indroducción a la Topología, Editorial Alhambra, Madrid.
• Chinn,W.G.; Steenrod,N.E. (1975) Primeros conceptyos de Topología), Editorial Alhambra, Madrid.
• García Marrero et all.(1975) Topología, Editorial Alhambra, Madrid.

Véase también

• Conjunto
• Conjunto cerrado
• Teoría de conjuntos