Conjunto


Conjunto
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.[1] Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Contenido

Definición

Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto:[2]

[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.

Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.

La propiedad más básica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, A = B.

A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.

Descripción de un conjunto

Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:

Una de ellas es mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica:

A es el conjunto cuyos miembros son los cuatro primeros números naturales.
B es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjuntos entre llaves:

C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:

«El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:

C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}

Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo:

{4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,

ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:

{4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}

Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:

{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

Otra notación habitual en matemáticas es:

F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,

donde en esta expresión los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto anterior es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|»).

Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Pertenencia

Artículo principal: Elemento de un conjunto

La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por aB, y si no lo es, se denota por aB. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:

4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero
7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B

Y se dice entonces que —por ejemplo—, 4 pertenece al conjunto A, es un miembro de A, está en A, etc.

Subconjuntos

Artículo principal: Subconjunto
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Si A es un subconjunto de B, se escribe como AB y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse BA, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».

Si A no sólo contiene algunos sino todos los elementos B, A no sólo es un subconjunto de B, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que A contenga algunos pero no todos los elementos de B: A es un subconjunto de B pero no son iguales. Se dice entonces que A es un subconjunto propio de B y se denota AB, es decir: AB pero AB (y equivalentemente, para un superconjunto propio, BA).

(También se utiliza la notación AB y BA, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, AB y BA; o subconjunto propio, AB y BA).

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto:

El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.

El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

Operaciones con conjuntos
SetUnion.svg
SetIntersection.svg
SetDifferenceA.svg
SetComplement.svg
SetSymmetricDifference.svg

Operaciones con conjuntos

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

  • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto AB obtenido al juntar todos los elementos de A y de B.
  • Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto AB de los elementos comunes a A y B.
  • Diferencia. La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
  • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
  • Diferencia simétrica. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
  • Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
  • {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
  • {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
  • {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
  • {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
  • {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

Empleo

  • En la Topología
  • En Probabibilidades, en muestreo.
  • En la fundamentación de sistemas numéricos, al construir los números naturales como clases de equivalencia, y en esta perspectiva los enteros, los racionales y los reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy.
  • En el álgebra moderna: orden parcial e intersección.
  • En Análisis matemático para definir los dominios y contradominios de las funciones.

Véase también

Referencias

  1. Para esta introducción, véase Weisstein, y Courant, Robbins y Stewart, 1996, p. 108.
  2. Véase Cantor, 2006, p. 137.
  • Cantor, Georg (2006) [1872-1899]. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta.. Edición de José Ferreirós. Crítica. ISBN 84-8432-695-0. 
  • Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2.  Suplemento del capítulo II.
  • Enderton, Herbert B. (1977). Elements of set theory. Academic Press. 
  • Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el 18-04-2011 .
  • Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): «Set Theory» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el 22-04-2011.
  • Pla i Carrera, Josep (2003). La verdad matemàtica. publicacions Reial Acadèmia de Doctors. 

Enlaces externos




Wikimedia foundation. 2010.

Sinónimos:

Mira otros diccionarios:

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  • conjunto — conjunto, ta (Del lat. coniunctus). 1. adj. Unido o contiguo a otra cosa. 2. Mezclado, incorporado con otra cosa diversa. 3. Aliado, unido a alguien por el vínculo de parentesco o de amistad. 4. m. Agregado de varias personas o cosas. 5. Juego de …   Diccionario de la lengua española

  • conjunto — conjunto, ta adjetivo 1) junto, unido, contiguo. 2) mezclado, incorporado. sustantivo masculino 3 grupo, agregado, totalidad, cohorte …   Diccionario de sinónimos y antónimos

  • conjunto — adj. 1. Intimamente unido. 2. Ligado, próximo, anexo. • s. m. 3. Resultado da união das partes de um todo. 4. Reunião de pessoas, de coisas que formam um todo. 5. Coleção de objetos com uma característica comum. 6. Agrupamento. 7. Complexo,… …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • conjunto — [kän kho͞on′tō] n. 〚Sp〛 1. a lively Latin American dance music of Cuban and Mexican origin, influenced by European polkas, Mexican ballads, etc. 2. a band, featuring male vocalists, an accordion, trumpets, a large 12 string guitar, percussion,… …   Universalium

  • Conjunto —   [spanisch, koȖ xunto], afrokubanische Musizierform in größerer Besetzung, dominiert von drei bis vier Trompeten, dazu Klavier, Bass, Gitarre (Tres) und diverse Perkussionsinstrumente. Namhafte Vertreter sind z. B. Arsenio Rodriguez (1911 1971)… …   Universal-Lexikon

  • conjunto — [kän kho͞on′tō] n. [Sp] 1. a lively Latin American dance music of Cuban and Mexican origin, influenced by European polkas, Mexican ballads, etc. 2. a band, featuring male vocalists, an accordion, trumpets, a large 12 string guitar, percussion,… …   English World dictionary

  • Conjunto — (Derivado de junto < lat. junctus, part. de jungere, juntar.) ► adjetivo 1 Que está unido a otra cosa: ■ realizaron un esfuerzo conjunto; la conjunta consecución de los hechos ayudó a la resolución del conflicto. SINÓNIMO anexo complejo junto… …   Enciclopedia Universal


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