Clausura transitiva

La clausura transitiva o cierre transitivo de una relación binaria es la relación binaria más pequeña que siendo transitiva contiene al conjunto de pares de la relación binaria original. La clausura transitiva de una relación $R\,$ se denotada $CT(R)\,$. En otras palabras, $CT(R)\,$ es la relación binaria que verifica:

1. $R\subseteq CT(R)$
2. $CT(R)\,$ es transitiva
3. Si $R'\,$ es una relación transitiva tal que $R\subseteq R'$, entonces $CT(R)\subseteq R'$

Nótese que si $R\,$ es transitiva, entonces $CT(R)=R\,$. Dada cualquier relación siempre existe su clausura transitiva.

Existencia y descripción

La clausura transitiva de una relación binaria siempre existe, es decir, dada cualquier relación binaria esta puede extenderse hasta que la relación extendida sea transitiva. Además la clausura transitiva que denotaremos aquí mediante $\mathcal{R}_{CT}$ admite una caracterización muy sencilla:

(1) $x\mathcal{R}_{CT}y \Rightarrow \quad \exists z_1\dots \exists z_n: x\mathcal{R}z_1 \land \dots \land z_n\mathcal{R}y$

Definiendo las potencias de $\mathcal{R}$ inductivamente:

(2) $\begin{matrix} \mathcal{R}^2=\mathcal{R}\times\mathcal{R} := \{(x,y)|\exists z:x\mathcal{R}z \land z\mathcal{R}y \} \\ \dots \\ \mathcal{R}^{n+1}= \mathcal{R}\times\mathcal{R}^n \end{matrix}$

La clausura transitiva se puede caracterizar como la unión generalizada:

(3) $\mathcal{R}_{CT} = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} \mathcal{R}^i$

Cómo calcularla algorítmicamente

• Si una relación $\mathcal{R}$ ya es una relación transitiva, entonces es su propia clausura transitiva.
• En cambio, si $\mathcal{R}$ no es transitiva, su clausura transitiva puede hallarse usando la representación de la relación como matriz booleana. Dada la relación $\mathcal{R}$ sobre un conjunto de n elementos $\{a_1,\dots,a_n\}$, la matriz booleana asociada a la relación viene dada por:

$B_\mathcal{R} = [b_{ij}]\quad \land \quad b_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{si}\ a_i\mathcal{R}a_j\\ 0 & \mbox{si}\ \lnot a_i\mathcal{R}a_j \end{cases}$

Una vez calculada se examina en qué caso de los siguientes estamos:

1. Se encuentran las potencias de $B_\mathcal{R}$ ($B_\mathcal{R}^2$, $B_\mathcal{R}^3$,..., $B_\mathcal{R}^k$, etc.)
2. Si $B_\mathcal{R}^k$ es la relación total o producto cartesiano, no se buscan más potencias y esa es la Clausura Transitiva.
3. Si $B_\mathcal{R}^k$ es la matriz nula, entonces la $CT(\mathcal{R})$ es la unión generalizada (3).
4. Si $B_\mathcal{R}^k$ es igual a alguna potencia anterior, entonces no se buscan más potencias y la $CT(\mathcal{R})$ es idéntica que en el punto anterior.

Véase también

• Clausura reflexiva
• Clausura simétrica