Clausura reflexiva

Sea R una relación binaria aplicada sobre un conjunto A, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de $\mathcal{R}$, denotada $CR(\mathcal{R})$, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre $A\,$ que contiene a $\mathcal{R}$.

En otras palabras, $CR(\mathcal{R})$ es la relación binaria que verifica:

1. $\mathcal{R}\subseteq CR(\mathcal{R})$
2. $CR(\mathcal{R})$ es reflexiva
3. Si $\mathcal{R}'$ es una relación reflexiva tal que $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{R}'$, entonces $CR(\mathcal{R})\subseteq \mathcal{R}'$

Note que si $\mathcal{R}$ es reflexiva, entonces $CR(\mathcal{R})=\mathcal{R}$.

Cómo calcularla

Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1

Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación $CR(\mathcal{R})$ se construye trivialmente.

Véase también

• Clausura simétrica
• Clausura transitiva