Caos determinista

Caos determinista

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El caos y los fractales son parte de un tema mayor, la dinámica, rama de la física que empezó a mediados de 1600 cuando Isaac Newton descubrió las ecuaciones diferenciales, descubrió las leyes de movimiento y la gravitación general. Con estos elementos Newton resolvió problemas de dos cuerpos que interactúan por medio de la gravedad pero, lo que de verdad le llamaba la atención, era el movimiento de la Luna y su generalización conocida con el nombre de problema de los tres cuerpos. Las siguientes generaciones de matemáticos y físicos trataron problemas de tres cuerpos y notaron que resultaban mucho más difíciles que los problemas de dos cuerpos, hasta el punto de darlos como imposibles.

Véase también: Problema de los dos cuerpos y Problema de los tres cuerpos

Breve historia

El determinismo laplaciano

En 1776 el matemático francés Pierre Simon de Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podría predecir su pasado y futuro. Por más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.

El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados, se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.

El cuestionamiento de Poincaré

A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el Sistema Solar será estable para siempre. Él fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de comportamiento que dependiera sensiblemente en las condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre

reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondían a una dinámica lineal, aquellos a los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. Esta afirmación, además, está directamente relacionada con la teoría de variables ocultas. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.

El aporte de Lorenz

Atractor de Lorenz

El comienzo de la historia del caos según las teorías actuales se puede situar cuando se inventaron los ordenadores de alta velocidad (sobre 1950) y se desarrollaron algunas intuiciones sobre cómo eran los sistemas no lineales. Esto es, cuando se vieron las primeras gráficas sobre el comportamiento de estos sistemas mediante métodos numéricos. En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las ecuaciones mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba predijeran el tiempo en la atmósfera, y trató mediante los ordenadores ver gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones. Aunque se les llamaran ordenadores de alta velocidad, los ordenadores por aquella época eran muy lentos, por lo que Lorenz se fue a tomar un té mientras el ordenador hacía los cálculos, y cuando volvió se encontró con una figura que ahora se conoce como atractor de Lorenz.

Pensó que se había cometido algún error al ejecutar el programa y lo intentó repetidas veces, logrando siempre el mismo resultado, hasta que se dio cuenta de que algo pasaba con su sistema. Después de estudiarlo detenidamente y hacer pruebas con diferentes parámetros, tanto parámetros iniciales como las constantes del sistema, llegó a la conclusión de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy próximas. Al llegar a esta conclusión, recordó que en el programa, que él había creado para su sistema de meteorología con la computadora Royal McBee, se podían introducir un máximo de 3 decimales para las condiciones iniciales, aunque el programa trabajaba con 6 decimales y los 3 últimos decimales que faltaban se introducían aleatoriamente. Lamentablemente Lorenz publicó sus descubrimientos en revistas de meteorología, pasando desapercibidos durante casi una década.

La década de 1970 fue el boom del caos. En 1971 David Ruelle y Floris Takens propusieron una nueva teoría para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extraño. Años después el ecólogo teórico Robert May encontró ejemplos de caos en dinámica de poblaciones usando la ecuación logística discreta. A continuación llegó el más sorprendente descubrimiento de todos de la mano de Feigenbaum. Él descubrió que hay un conjunto de leyes universales concretas que diferencian la transición entre el comportamiento regular y el caos. Por tanto es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento caótico igual.

La importancia de ser no lineal

Hay dos importantes tipos de sistemas dinámicos: las ecuaciones diferenciales y los mapas iterados. Las ecuaciones diferenciales describen la evolución de un sistema a tiempo real y los mapas iterados evolucionan en problemas donde el tiempo es discreto. Ambos son útiles para dar ejemplos del caos y también para analizar soluciones periódicas o caóticas de las ecuaciones diferenciales.

Se dice que un sistema es no lineal cuando la potencia de las variables de ese sistema es diferente a uno, hay productos entre diferentes variables o funciones de las variables (ej; $x_1^2$, $x_1\cdot \;x_2$, cosx₂).

La mayoría de sistemas no lineales son analíticamente irresolubles. En estos casos se puede lograr alguna solución haciendo una aproximación, pero se pierden soluciones físicas. La razón de que las ecuaciones lineales sean más fáciles de analizar es que los sistemas lineales se pueden separar en partes, resolver cada una de ellas y juntar las soluciones para obtener la solución final. El hecho es que muchas cosas en la naturaleza actúan de forma no lineal.

La importancia que tienen los sistemas en el caos es el siguiente. Se dice que un sistema dinámico es lineal cuando pequeños cambios en las condiciones iniciales del sistema no originan grandes cambios en el proceso y resultado final del mismo.

Ecuaciones de Lorenz

Empezamos el estudio del caos con las ecuaciones de Lorenz

$\begin{matrix} \dot{x}&=&\sigma(y-x)\\ \dot{y}&=&rx-y-xz\\ \dot{z}&=&xy-bz \end{matrix}$

donde σ es el número de Prandtl (viscosidad/conductividad térmica), r es el número de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura entre base y tope) y b es la razón entre la longitud y altura del sistema.

Lorenz observó dos cosas fundamentales que ocurrían en su ecuación:

1. Cualquier diferencia en las condiciones iniciales antes de los cálculos, incluso infinitesimal, cambiaba de forma dramática los resultados. Tan sólo se podía predecir el sistema por cortos periodos de tiempo. Llevando eso a la meteorología, suponía lo que se llamó efecto mariposa, hipersensibilidad a las condiciones iniciales.
2. A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sistema, lejos de ser un comportamiento al azar, tenía una curiosa tendencia a evolucionar dentro de una zona muy concreta del espacio de fases, situando una especie de pseudocentro de gravedad de los comportamientos posibles.

Las ecuaciones de Lorenz fueron propuestas como un modelo muy simplificado de la convección en forma de anillos que parece ocurrir a veces en la atmósfera terrestre. Por ello, las tres magnitudes a las que Lorenz se refiere en su sistema son,

• $x \rightarrow$ Razón de rotación del anillo.
• $y \rightarrow$ Gradiente de temperatura
• $z \rightarrow$ Desviación de la temperatura respecto a su valor de equilibrio.}

Lorenz descubrió que su sistema contenía una dinámica extremadamente errática. Las soluciones oscilaban irregularmente sin llegar a repetirse, aunque lo hacían en una región acotada del espacio de fases. Vio que las trayectorias rondaban siempre alrededor de lo que ahora se define como atractor extraño.

El sistema de Lorenz es disipativo.

Divergencia exponencial de trayectorias cercanas

Tiempo de horizonte. Exponente de Lyapunov

Los atractores exhiben una dependencia sensible a las condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectorias que comienzan cerca una de la otra divergen, y cada una tendrá un futuro totalmente diferente de la otra. Haciendo estudios numéricos de los atractores extraños se puede encontrar la siguiente proporción,

$\begin{matrix} ||\delta ||\approx||\delta_0 ||e^{\lambda t} \end{matrix}$

donde δ(t) es el vector que separa 2 trayectorias, δ₀ es la separación inicial y λ es el exponente Lyapunov. Cuando el sistema tiene un exponente de Lyapunov positivo (λ > 0), se encuentra un tiempo de horizonte donde la predicción deja de ser válida. Si se toma a como el valor máximo de la distancia aceptable entre dos trayectorias (la predicción será intolerable cuando $||\delta (t)||\geq a$), entonces el tiempo de horizonte se define como

$\begin{matrix} t_{horizon} \approx \frac{1}{\lambda} \ln{\frac{a}{||\delta_0 ||}} \end{matrix}$

Lo peor del tiempo de horizonte es que, por mucho que se minimice la separación inicial, no logrará ser mucho más grande. Esto es, aunque se logre una precisión muy buena, el incremento del tiempo de horizonte que se logra será insignificante comparado con la disminución de δ₀. Por esto, Lorenz dijo que era tan difícil predecir el tiempo. Este obstáculo de la predicción se conoce con el nombre efecto mariposa por una charla de Lorenz con el título "¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?".

La sensibilidad a las condiciones es tan extremadamente exagerada que, aparte del provocativo título de la charla de Lorenz, se encuentran otras frases como,

Por perder un clavo, el caballo perdió la herradura, el jinete perdió al caballo, el jinete no combatió, la batalla se perdió, y con ella perdimos el reino.

Si se dibuja una gráfica con los ejes ln | | δ | | y t, se observa que para un corto plazo de t, la función se mueve alrededor de una pendiente. El valor de esta pendiente equivale al exponente de Lyapunov. Como se observa en el ejemplo de abajo, después de un tiempo la función no continúa cerca de la pendiente. Esto es debido a que, como el atractor está acotado en un espacio del espacio de fases, la distancia no puede aumentar hasta el infinito.

Definición de caos y atractores

No hay una definición universal sobre el caos, pero hay tres ingredientes en los que todos los científicos están de acuerdo:

1. Las trayectorias no se ajustan a un punto fijo, órbita periódica u órbita cuasiperiódica cuando $t\rightarrow \infty$.
2. El sistema no contiene parámetros al azar. El comportamiento irregular surge de la no linealidad. Por eso se define como determinista.
3. Las trayectorias que comienzan cerca, con el tiempo se separan exponencialmente.

Definir un atractor tampoco es fácil ya que todavía hay desacuerdos sobre la definición exacta. Un atractor es un conjunto en las que todas las trayectorias cercanas convergen. Los puntos fijos y círculos límite son un ejemplo de ello. Al igual que en la definición del caos, hay 3 ingredientes universales:

1. Cualquier trayectoria que esté en un atractor, estará en él para $t\rightarrow \infty$.
2. Atraen un conjunto de condiciones iniciales. El conjunto lo componen las condiciones iniciales que su trayectoria que acabe en el atractor cuando $t\rightarrow \infty$.
3. No existen condiciones iniciales que satisfagan las dos reglas anteriores.

Dentro de los atractores se define como atractor extraño o caótico cuando el atractor exhibe dependencia sensible con las condiciones iniciales.

Atractores

Modelo matemático

Al hablar de atractores no se hace referencia única y exclusivamente a los atractores caóticos, ya que antes de que apareciera el caos se conocían otros tipos de atractores.

El más simple es el atractor de punto fijo. El sistema que tenga un atractor de punto fijo tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto a la vertical, debido al rozamiento con el aire.

El atractor de ciclo límite o atractor periódico es el segundo tipo de atractor más sencillo. Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre. Como ejemplo, se puede tomar un péndulo alimentado para contrarrestar la fuerza de rozamiento, por lo que oscilaría de lado a lado.

Por último se tiene el atractor caótico, que aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractor de Lorenz.

Se verá una introducción de estos distintos tipos de atractores con un modelo matemático muy usado para explicar el caos. Consiste en una varilla de acero con un extremo fijado a un soporte y el otro libre para oscilar entre dos imanes colocados simétricamente. El soporte de la varilla se halla sometido a una fuerza armónica F = fcosωt, como se observa en la figura del modelo matemático

Es fácilmente observable que cuando la varilla está en posición vertical, hay un punto de equilibrio inestable entre dos puntos de equilibrio estables situados simétricamente. El potencial de este sistema es

γ = 0, f = 0

$\begin{matrix} V(x)=-\frac{1}{4} x^2(2-x^2) \end{matrix}$

de modo que la ecuación de movimiento será,

$\begin{matrix} \ddot{x}=-V'(x)=x-x^3 \end{matrix}$

Si ahora se agrega una fuerza de rozamiento del aire proporcional a la velocidad (-$\gamma \dot{x}$) y una fuerza externa armónica, se logra la ecuación de Duffing:

$\begin{matrix} \ddot{x}+\gamma \dot{x}-x+x^3=f\cos{\omega t} \end{matrix}$

A continuación se ve cómo el término no lineal x³ tiene consecuencias dinámicas asombrosas.

Suponiendo que inicialmente no se tiene fricción (γ = 0) ni fuerza externa (f = 0), el sistema es conservativo y se tendrá una integral primera que proporciona las trayectorias en el espacio de fases $(x,\dot{x})$:

$\begin{matrix} \frac{1}{2}\dot{x}^2-\frac{1}{4}x^2(2-x^2)= E \end{matrix}$

γ = 0.2, f = 0

En los mínimos de la energía potencial se observa que los puntos son estables mientras que el máximo corresponde a un punto de silla inestable. Las trayectorias de energía nula son órbitas homoclínicas que se hallan tanto en la variedad estable como en la inestable. Las demás trayectorias corresponden a oscilaciones periódicas cuyas órbitas encierran un solo punto estable (E < 0) o ambos (E > 0).

Si ahora se tiene en cuenta el rozamiento, se obtendrán oscilaciones amortiguadas, por lo que es lógico pensar que el sistema perderá energía monótonamente, mientras el tiempo transcurra. En consecuencia, las trayectorias tenderán a uno de los atractores de punto fijo.

γ = 0.2, f = 0.23

Si ahora, además del rozamiento, se introduce una fuerza externa armónica que contrarresta a la fuerza de rozamiento, el sistema ya no tenderá al equilibrio. Al ser una fuerza armónica se encuentran soluciones periódicas (ciclos límite), pero nada que ver con los periodos de los que se habla cuando el sistema es conservativo (γ = f = 0). En este caso los periodos son independientes de la energía por la fuerza de rozamiento y la armónica, así que los periodos dependen de la fuerza armónica externa.

Al aumentar la fuerza externa (f = 0.3), las órbitas periódicas desaparecen y oscilan sin cesar sin ninguna regularidad. Además de la irregularidad del sistema, este exhibe una gran sensibilidad a las condiciones iniciales por lo que nos encontramos ante un atractor extraño (o caótico).

γ = 0.2, f = 0.3

En conclusión, para que haya caos se necesita que se cumplan los siguientes 3 puntos en un sistema:

1. El sistema debe ser no lineal.
2. El sistema debe tener mínimo 3 variables (puede ser por ejemplo de 2 variables y no-autónomo).
3. El sistema debe tener dependencia sensible a las condiciones iniciales.

Cuando el modelo matemático tenía f = 0 era un sistema no lineal, pero al introducir f = 0.23 se logra la tercera varible, el tiempo. Aunque no tenía dependencia a las condiciones iniciales. Por eso se ha de remarcar que el caos implica que el sistema sea de 3 o más variables, pero 3 o más variables no implican que haya caos.

Transformación del panadero

Atractor de Rössler

En los atractores extraños se observan órbitas irregulares, que las trayectorias divergen exponencialmente y que permanecen en un espacio de fases acotado. Para explicar estas propiedades se usará la transformación del panadero que consiste en un doble proceso de estirar y plegar.

Este doble proceso de estirar (para separar exponencialmente las trayectorias) y plegar (para que la región del espacio de fases se mantenga acotado) es un mecanismo fundamental del caos determinista. A este proceso se le denomina transformación del panadero, porque el proceso de homogeneizar la masa consiste también en estirar (para homogeneizar) y plegar (para tener unas dimensiones manejables) la masa repetidas veces.

Al repetir infinitas veces el proceso, se logran infinitas capas que le dan al atractor una estructura fractal. Un ejemplo de esto se puede apreciar en el atractor de Rössler. Viendo el gráfico se observa cómo en el número 1 se estira y en el 3 se pliega. Cogiendo el 3 y volviendo a aplicar el proceso, se obtiene el doble de capas.

Otro ejemplo para explicar la trasformación es la ecuación de Duffing. En este caso como $f \neq 0$ el espacio de fases es tridimensional. Pero al aparecer t en un coseno, una dimensión es cíclica, por lo que para visualizar el atractor se considera una sección estroboscópica para valores t = t₀ + 2nπ, (n = 0,1,...).

En el siguiente dibujo hay 16 secciones por lo que t₀ = (k − 1)π / 8, (k = 1,2,...,16)

Secciones estroboscópicas del atractor de Duffing: mirando con atención el gráfico, se ve claramente la transformación del panadero. Esto es, se aprecia cómo a la vez que se estira se pliega sobre sí mismo.

Véase también

• Fractal
• Teoría del Caos
• Problema de los tres cuerpos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Fractales.Commons

Enlaces externos

• Fundamentos matemáticos de la sinergética. Caos, estructuras y simulación por ordenador

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