Cuerpo finito

Cuerpo finito

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En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo que contiene un número finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Los cuerpos finitos son totalmente conocidos, y serán descritos más abajo.

Clasificación

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los campos finitos tienen característica prima, y por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pⁿ, para p primo y n > 0 entero (pues el campo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). No es en general cierto, sin embargo, que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para un primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), F_p, o GF(p); en algunos casos se usa Z_p, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a éste.

Si q = pⁿ es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un campo con q elementos, denotado por F_q o GF(q). Se puede construir como sigue: encuéntrese un polinomio irreducible f(X) de grado n con coeficientes en F_p, y defínase F_q = F_p[X] / <f(T)>, donde F_p[X] denota el anillo de todos los polinomios con coeficientes en F_p, <f(X)> denota el ideal generado por f(X), y la barra diagonal indica el anillo cociente (definido de forma similar al grupo cociente). El polinomio f(X) se puede hallar factorizando X^q-X sobre F_p. El campo F_q contiene a (una copia de) F_p como subcampo.

No hay otros campos finitos.

Ejemplos

El polinomio f(X) = X² + X + 1 es irreducible en F₂, y F₄ = F₂[X] / <X² + X + 1> puede representarse como el conjunto {0, 1, x, x+1} donde la multiplicación queda definida por la ecuación x² + x + 1 = 0. Por ejemplo, para hallar x³, se observa que x(x² + x + 1) = 0, con lo cual x³ + x² + x = 0, y x³ = -x² - x = (x + 1)( - x) = 1; de forma equivalente, habiendo observado que x³ + x² + x = 0, se obtiene que x³ + (x² + x + 1) = 1 con lo que x³ = 1, como antes.

Para encontrar un inverso multiplicativo de x en este campo, se debe encontrar un polinomio g(X) tal que X * g(X) = 1 módulo X² + X + 1; el polinomio g(X) = X + 1 cumple esta propiedad, de modo que 1/x = x + 1.

Obsérvese que el campo F₄ no tiene relación con el anillo Z₄ de enteros módulo 4.

Para construir el campo F₂₇, se comienza con el polinomio irreducible (en F₃) X³ + X² + X - 1. Se tiene entonces F₂₇ = {ax² + bx + c | a, b, c ∈ F₃}, donde la multiplicación se define por

x³ + x² + x - 1 = 0 (de la misma manera que en el ejemplo pasado).

Propiedades

Si F es un campo finito con q = pⁿ elementos (con p primo), entonces

x^q = x

para todo x ∈ F. Más aún, la función

$f:F\to F$

definida por

f(x): = x^p

es biyectiva y un homomorfismo, con lo cual es un automorfismo de F. Se la llama automorfismo de Frobenius, en honor a Ferdinand Georg Frobenius.

El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por éste es el grupo completo de automorfismos del campo.

El campo F_p^m contiene una copia de F_pⁿ si y sólo si n divide a m. La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en F_p^m.

Si se construyen los campos finitos de forma tal que F_pⁿ esté efectivamente contenido en F_p^m siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito. Es la clausura algebraica de cada uno de los campos F_pⁿ. Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.

Aplicaciones

El grupo multiplicativo de todo cuerpo finito es cíclico. Esto significa que si F es un campo finito de q elementos, siempre hay un elemento x ∈ F tal que F = { 0, 1, x, x²,..., x^q-2 }.

El elemento x no es único. Si se toma uno en particular, entonces para todo a ≠ 0 en F hay un único n ∈ {0,..., q - 2} tal que a = xⁿ. El valor de n para un dado a se llama logaritmo discreto de a en base x. En la práctica, aunque calcular xⁿ es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un proceso computacionalmente difícil, por lo que tiene muchas aplicaciones en criptografía.

Los primeros cuerpos finitos

F₂:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1
 

F₃:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1
 

F₄:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

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