Diagrama de Bode

Diagrama de Bode

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Diagrama de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con un polo)

Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

Pasos para dibujar un diagrama de Bode a mano alzada

Aproximación del diagrama de amplitud

El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

$f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n}$

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

$\log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n \log(x + c_n)$

Supongamos que la función de transferencia del sistema objeto de estudio viene dada por la siguiente transformada de Laplace:

$H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}$

donde s = jω, x_n e y_n son constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximación del Bode son las siguientes

• en los valores de pulsación correspondientes a un cero (ω = x_n) se tiene que aumentar la pendiente de la recta un valor de $20 \cdot a_n dB$ por década.
• en los valores de pulsación correspondientes a un polo (ω = y_n) se tiene que disminuir la pendiente de la recta un valor de $20 \cdot b_n dB$ por década.
• el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular inicial ω en la función y calculando el módulo |H(jω)|.
• el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en el número y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial; se aplican las dos primeras reglas.

Para poder manejar polinomios irreducibles de segundo grado ($ax^2 + bx + c \$) se puede en muchos casos aproximar dicha expresión por $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2$.

Nótese que hay ceros y polos cuando ω es igual a un determinado x_n o y_n. Eso ocurre porque la función en cuestión es el módulo de H(jω), y como dicha función es compleja, $|H(j\omega)| = \sqrt{H \cdot H^* }$. Por ello, en cualquier lugar en el que haya un cero o un polo asociado a un término (s + x_n), el módulo de dicho término será $\sqrt{(x_n + j\omega) \cdot (x_n - j\omega)}= \sqrt{x_n^2+\omega^2}$.

Corrección del diagrama de amplitud

Para corregir la aproximación dibujada en el apartado anterior:

• Donde haya un cero, dibujar un punto de valor $3 \cdot a_n\ \mathrm{dB}$ por encima de la línea.
• Donde haya un polo, dibujar un punto de valor $3 \cdot b_n\ \mathrm{dB}$ por debajo de la línea.
• Dibujar una curva que pase por esos puntos utilizando los segmentos rectilíneos de la aproximación a modo de asíntotas.

Este método de corrección no indica cómo trabajar con valores de x_n o y_n complejos. En caso de un polinomio irreducible, el mejor modo de corregir la gráfica es calcular el módulo de la función de transferencia en el polo o el cero correspondiente al polinomio irreducible, y dibujar ese punto por encima o por debajo de la línea en el valor de frecuencia angular correspondiente.

Aproximación del diagrama de fase

Sea una función de transferencia de la misma forma que la anterior:

$H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}$

Ahora se trata de dibujar gráficas separadas para cada polo y cero, y después unificarlas en un solo gráfico. El valor real de la fase está dado por la fórmula $- \mathbf{arctan}\bigg(\frac{\mathbf{Im}[H(s)]}{\mathbf{Re}[H(s)]}\bigg)$.

Para dibujar la aproximación, para cada polo y cero:

• si A es positivo, dibujar una línea horizontal en el valor de ordenadas correspondiente a 0 grados
• si A es negativo, dibujar una línea horizontal en 180 grados
• en cada cero (ω = x_n) aumentar la pendiente a $45 \cdot a_n$ grados por década, comenzando una década antes de que ω = x_n (es decir, comenzando en $\frac{x_n}{10}$)
• en cada polo (ω = y_n) disminuir la pendiente a $45 \cdot b_n$ grados por década, comenzando una década antes de que ω = y_n (es decir, comenzando en $\frac{y_n}{10}$)
• cuando la fase cambie $90 \cdot a_n$ grados (debido a un cero) o $90 \cdot b_n$ grados (por un polo) volver a eliminar la pendiente
• tras dibujar una línea para cada polo o cero, sumar todas las líneas para obtener la gráfica definitiva.

Ejemplo

Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la siguiente respuesta en frecuencia:

$H(f) = \frac{1}{1+j2\pi f R C}$

La frecuencia de corte (f_c) toma el valor (en hercios):

$f_\mathrm{c} = {1 \over {2\pi RC}}$.

La aproximación lineal del diagrama consta de dos líneas:

• para frecuencias por debajo de f_c es una línea horizontal a 0 dB
• para frecuencias por encima de f_c es una línea con pendiente de -20 dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de corte. Observando el gráfico se verá que a frecuencias bastante por debajo de dicha frecuencia, el circuito tendrá una atenuación de 0 decibelios. Por encima, la señal se atenuará, y a mayor frecuencia, mayor atenuación.

Aplicaciones

Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea éste eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganacia, estrechamente ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el argumento están acotadas salvo por carateríscas propias del sistema. En este sentido, sólo cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º y -180º.

Véase también

• Respuesta en frecuencia
• Función de transferencia

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Diagrama de Bode.Commons
• Explicación de diagramas de Bode con animaciones y ejemplos
• Cómo dibujar diagramas de Bode
• Resumen de las normas para dibujar bodes (PDF)
• Applet para calcular diagramas de Bode - Recibe como argumentos de entrada los coeficientes de la función de transferencia y devuelve la respuesta en módulo y fase
• Dibujar bodes en la HP49

Obtenido de "Diagrama de Bode"