Transformación bilineal

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La transformada bilineal (también conocida con el nombre de Método de Tustin) es usada habitualmente en el campo del procesamiento digital de señales y en la Teoría de control de señales discretas. Esta herramienta matemática suele usarse para transformar la representación en tiempo continuo de las señal en tiempo discreto y viceversa.

La transformada bilineal es un caso especial de la transformación conforme (también conocida como Transformación de Möbius). Suele usarse para convertir una función de transferencia $H_a(s) \$ de un filtro lineal e invariante en el tiempo, que se encuentra definido en el dominio continuo del tiempo (LTI), en una función de transferencia $H_d(z) \$ perteneciente a un filtro lineal e invariante en el tiempo que se encuentre definido en el dominio discreto del tiempo, comúnmente llamado filtros digitales. Cabe resaltar que los filtros, aunque trabajen en dominio discreto del tiempo, no se tienen por que considerar digitales dado que existen una variante de filtros analógicos construido a partir de condensadores conmutados que por su naturaleza trabajan con muestras discretas).

Este método describe una forma de posicionar numeros complejos $j \omega \$, con $Re[s]=0 \$ y pertenecientes al plano S, en la circunferncia gonométrica con $|z| = 1 \$ pertenecientes al plano z. La transformada bilineal puede ser usada, por ejemplo, para deformar la respuesta en frecuencia de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo con el fin de realizar una aproximación en frecuencia a lo que es el sistema no lineal auditivo humando).

La transformada preserva la estabilidad y posición de cada uno de los puntos correspondientes a la respuesta en frecuencia del filtro en el dominio del tiempo continuo, $H_a(j \omega_a) \$, al correspondiente punto en la respuesta en frecuencia que representará el filtro discreto $H_d(e^{j \omega_d T}) \$ aunque produciendose una diferencia de frecuencia como se muestra en la sección de frecuencias alteradas. Por lo tanto cada punto que aparezca en la respuesta en frecuencia del filtro analógico le corresponderá otro punto de idéntica ganancia y desplazamiento de fase en la respuesta en frecuencia del filtro digital, aunque quizás como comentamos, puede que esto ocurra a frecuncias diferentes. Este hecho será casi imperceptible en frecuencias bajas, sin embargo, si se hará evidente en frecuencias próximas a la frecuencia de Nyquist.

Aproximación de tiempo discreto

La transformación bilineal es una aproximación de primer orden de la función logarítmica natural que consiste en realizar una asignación exacta del plano Z al plano S. Cuando la transformada de Laplace se realiza sobre una señal de tiempo discreto el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto. Para pasar de Laplace a Z cabe sustituir:

$\begin{align} z &= e^{sT} \\ &= \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \\ &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \end{align}$

Donde $T \$ es el periodo de muestreo (inverso a la Frecuencia de muestreo) del filtro discreto. La aproximación bilineal se realiza sustituyendo $s \$ por o una aproximación de $s = (1/T) \ln(z) \ \$. La inversa de esta asignación (y su aproximación de primer orden bilineal) es:

$\begin{align} s &= \frac{1}{T} \ln(z) \\ &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\ &\approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\ &= \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \end{align}$

En definitiva, la transformación bilineal consiste en sustituir esta aproximación de s en la la funcion de transferencia del filtro en tiempo continuo, $H_a(s) \$.

$s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}.$

Es decir:

$H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right). \$

No modifica las propiedades de estabilidad y fase mínima.

Un filtro causal perteneciente al dominio continuo del tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen en lado izquierdo del plano complejo s. Un filltro discreto en el tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro de la circunferencia gonométrica del plano complejo Z. La transformada bilinear posiciona los puntos que se encuentran en la parte izquierda del plano complejo S al interior de la circunferencia gonométrica del plano Z. Por lo tanto los filtros diseñados en el dominio continuo del tiempo que son estables, al ser convertidos al dominio discreto guardan su característica de estabilidad.

Además los filtros en tiempo continuo que son de "mínima fase", si los zeros de su función de transferencia caen en el lado izquierdo del plano complejo S entonces cuando se convierta a discreto la función de transferencia va a conservar su característica de "función de mínima fase".

Esto nos asegura que los cambios producidos desde el plano S al plano Z y viceversa no afectan a estas propiedades de los sistemas.

Ejemplo

Como ejemplo vamos a coger un filtro pasa baja RC. Este filtro posee una función de transferencia definida en el dominio continuo del tiempo.

$\begin{align} H_a(s) &= \frac{1/sC}{R+1/sC} \\ &= \frac{1}{1 + RC s}. \end{align}$

Si nosotros quisiesemos implementar dicho filtro, únicamente tendríamos que aplicar la transformación bilineal que acabamos de aprender, sustituyendo la s de la formula por la expresión vista antes.

$H_d(z) \$	$=H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) \$
	$= \frac{1}{1 + RC \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right)} \$
	$= \frac{1 + z}{(1 - 2 RC / T) + (1 + 2RC / T) z}. \$
	$= \frac{1 + z^{-1}}{(1 + 2RC / T) + (1 - 2RC / T) z^{-1}}. \$

De esta expresión nos serán utiles los coeficientes del polinomio del denominador y los del numerador. Ambos se usaran para implementar finalmente el filtro digital.

Frecuencias Alteradas

Para hallar la respuesta en frecuencia de un filtro en el dominio del tiempo continuo, la función de transferencia $H_a(s) \$ es evaluada como $s = j \omega \$ la cual se encuentra sobre el eje $j \omega \$. Por otro lado, para hallar la función de transferencia de un fitro discreto $H_d(z) \$ se evalua como $z = e^{ j \omega T} \$ la cual se encuentra sobre la circunferencia gonométrica unitaria en el plano Z, $|z| = 1 \$.

Ahora lo que queremos es conocer ante una entrada de una frecuencia al filtro discreto construido a partir de la transformación bilineal, $\omega_a \$, cual será la frecuencia $\omega \$ designada.

$H_d(z) = H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\right) \$

$H_d(e^{ j \omega T}) \$	$= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{e^{ j \omega T} - 1}{e^{ j \omega T} + 1}\right) \$
	$= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{e^{j \omega T/2} \left(e^{j \omega T/2} - e^{-j \omega T/2}\right)}{e^{j \omega T/2} \left(e^{j \omega T/2} + e^{-j \omega T/2 }\right)}\right) \$
	$= H_a \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{\left(e^{j \omega T/2} - e^{-j \omega T/2}\right)}{\left(e^{j \omega T/2} + e^{-j \omega T/2 }\right)}\right) \$
	$= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \left(e^{j \omega T/2} - e^{-j \omega T/2}\right) /(2j)}{\left(e^{j \omega T/2} + e^{-j \omega T/2 }\right) / 2}\right) \$
	$= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \frac{ \sin(\omega T/2) }{ \cos(\omega T/2) }\right) \$
	$= H_a \left(j \frac{2}{T} \cdot \tan \left( \omega \frac{T}{2} \right) \right) \$
	$= H_a \left(j \omega_a \right). \$

Esta demostración muestra que todos los puntos que se encuentran dentro de la circunferencia gonométrica en el plano Z,$z = e^{ j \omega T} \$, son "mapeados" con otros puntos $j \omega \$ en el dominio continuo en el plano S, $s = j \omega_a \$. Esto significa que las frecuencias transformadas de tiempo discreto a tiempo a continuo son integramente "mapeadas" por la transformación bilineal.

$\omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega \frac{T}{2} \right)$

y en cuanto al mapeado inverso

$\omega = \frac{2}{T} \arctan \left( \omega_a \frac{T}{2} \right).$

El filtro en tiempo discreto se comporta en frecuencia $\omega \$ de la misma forma el filtro en tiempo continuo se comporta en frecuencia $(2/T) \tan(\omega T/2) \$. Toda ganancia y la fase retardada que en el filtro de tiempo discreto tiene una frecuencia $\omega \$ también posee la misma ganancia y fase retardada en el filtro de tiempo continuo en la misma frecuencia $(2/T) \tan(\omega T/2) \$. Esto significa que todo lo que es visible en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo lo es también en el filtro de tiempo discreto, pero a una frecuencia diferente. En frecuencias bajas (es decir, cuando $\omega \ll 2/T$ or $\omega_a \ll 2/T$), $\omega \approx \omega_a \$).

También se puede ver como el rango entero continuo de frecuencias

$-\infty < \omega_a < +\infty \$

es mapeado en el itervalo de frecuencias fundamentales

$-\frac{\pi}{T} < \omega < +\frac{\pi}{T}. \$

El filtro de frecuencia en tiempo continuo $\omega_a = 0 \$ se corresponde con el filtro discreto en tiempo continuo $\omega = 0 \$ y el filtro de tiempo continuo en frecuencia $\omega_a = \pm \infty \$ se corresponde con el filtro en tiempo discreto en frecuencia $\omega = \pm \pi / T. \$

También se puede ver que hay una relación no lineal entre $\omega_a \$ y $\omega. \$. Este efecto de la transformada bilineal se llama alteración en frecuencia. Los filtros en tiempo continuo pueden ser diseñados para compensar esta alteración de frecuencia poniendo $\omega_a = \frac{2}{T} \tan \left( \omega \frac{T}{2} \right) \$ para cada frecuencia especifica que el diseñador quiera controlar.

La principal ventaja de este fenomeno de alteración es la ausencia de la distorsión aliasing de la respuesta en frecuencia, como se observa con otra técnica de diseño como la Impulse invariance. Es necesario sin embargo, compesar esta alteración en la frecuencia usando la tecnica de "pre-warping" una vez se conozca la especificación de frecuencias del sistema a diseñar. Esta especificación "pre-warped" podría ser usada en la transformación bilineal para obtener el sistema deseado de tiempo discreto.