Teoría de cuerpos

La teoría de cuerpos es una rama de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos. Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, sustracción, multiplicación y división están bien definidas.

Historia

El concepto de cuerpo. fue usado implícitamente por Niels Henrik Abel y Évariste Galois en su trabajo sobre resolución de ecuaciones.

En 1871, Richard Dedekind, al conjunto de los números reales o complejos los cuales son cerrados bajo las cuatro operaciones aritméticas como "cuerpo".

En 1881, Leopold Kronecker definió lo que él llamo "dominio de racionalidad", que es, de hecho, un cuerpo de polinomios en términos modernos.

En 1893, Heinrich Martin Weber dio la primera definición clara de cuerpo abstracto.

En 1910 Ernst Steinitz publicó el artículo Algebraische Theorie der Körper (alemán: teoría algebraica de cuerpos), que fue muy influyente. En este artículo él estudió axiomáticamente las propiedades de los cuerpos y definió varios conceptos de teoría de cuerpos importantes como cuerpo primo, cuerpo perfecto y el grado de trascendencia de una extensión de cuerpos.

Galois, que no tenía el término "cuerpo" en mente, ha sido honrado por ser el primer matemático que enlazó la teoría de grupos y la teoría de cuerpos. La teoría de Galois es llamada así en su honor. Sin embargo, fue Emil Artin el primero que desarrolló la relación entre grupos y cuerpos en gran detalle durante 1928-1942.

Introducción

Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra, puesto que proporcionan una generalización útil de varios sistemas de números, como pueden ser los números racionales, números reales, y los números complejos. En particular, las regla comunes de asociatividad, conmutatividad y distributividad se cumplen. Los cuerpos también aparecen en muchas otras de las matemáticas; véase los ejemplo abajo.

Cuando el álgebra abstracta estaba siendo desarrollada, la definición de un cuerpo usualmente no incluía la conmutatividad de la multiplicación, y a lo que hoy llamamos cuerpo, podría haber sido llamado cuerpo conmutativo o dominio racional. En el uso contemporáneo, un cuerpo es siempre conmutativo. Una estructura que satisface todas las propiedades de un cuerpo con la posible excepción de conmutatividad, se le llama actualmente anillo de división o álgebra de división o o algunas veces como cuerpo torcido. También es ampliamente utilizado el término cuerpo no conmutativo. En francés, los cuerpos son llamados corps y en alemán se conocen como Körper, de ahí que se use la letra $\mathbb K$ en tipografía blackboard bold para denotar a un cuerpo.

El concepto de cuerpo fue usado inicialmente (de manera implícita) para demostrar que no existe una fórmula general para expresar en términos de radicales las raíces de los polinomicos con coeficiones racionales de grado superior o igual a 5.

Extensiones de un cuerpo

Artículo principal: Extensión de cuerpos

Una extensión de un cuerpo k es justamente un cuerpo K que contiene a k como un subcuerpo. Se distingue entre extensiones que tienen cualidades diferentes. Por ejemplo, una extensión K de un cuerpo k es llamada algebraica, si cada elemento de K es una raíz de algún polinomio con coeficientes en k. De otra manera, la extensión es llamada trascendental.

El objetivo de la teoría de Galois es el estudio de las extensiones algebraicas de un cuerpo.

Clausuras de un cuerpo

Dado un cuerpo k, varios tipos de clausura de k pueden ser introducidas. Por ejemplo, la clausura algebraica, la clausura separable, la clausura cíclica etc. La idea es siempre la misma: Si P es una propiedad de cuerpos, entonces una P-clausura de k es un cuerpo K que contiene a k, y que tiene la propiedad P, la cual es mínima en el sentido de que no hay subcuerpo apropiado de K que contiene k y tiene la propiedad P. Por ejemplo, si se toma P(K) como la propiedad de que "todo polinomio no constante f en K[t] tiene una raíz en K", entonces una P-clausura de k es justamente una clausura algebraica de k. En general, si las P-clausuras existen para alguna propiedad P y cuerpo k, son todas isomorfas. Sin embargo, no hay isomorfismo preferible general entre dos clausuras.

Aplicaciones de la teoría de cuerpos

El concepto de cuerpo se usa, por ejemplo, en la definición de vectores y matrices, dos estructuras en álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario.

Los cuerpos finitos son usados en teoría de números, teoría de Galois y teoría de códigos,y de nuevo, las extensiones algebraicas son también una gran herramienta.

Los cuerpos binarios, cuerpos de característica 2, son útiles en ciencias de la computación.

Algunos teoremas útiles

• Teorema de extensión del isomorfismo
• Teorema del elemento primitivo

Véase también

• Cuerpo
• Anillo
• Espacio vectorial
• Categoría de cuerpos

Referencias

• R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6. 
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27288-2. 
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Rings, fields and modules: Algebra through practice, Book 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27291-2.