Teorema de los tres momentos

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

Enunciado

Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación:^[1]

(1) $M_{k-1}L_k + 2M_k(L_k+L_{k+1}) + M_{k+1}L_{k+1} = -6\left( \frac{\Omega_k D_k}{L_k} + \frac{\Omega_{k+1} d_{k+1}}{L_{k+1}} \right)$

Donde

$M_k\,$, momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo.

$M_{k-1}\,$, momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo (k-1)-ésimo.

$M_{k+1}\,$, momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo (k+1)-ésimo.

$L_{k}\,$ longitud del tramo de viga entre el apoyo (k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo

$L_{k+1}\,$ longitud del tramo de viga entre el apoyok-ésimo y el apoyo (k+1)-ésimo.

$\Omega_k, \Omega_{k+1}\,$, área de los momentos flectores isostáticos en los tramos $L_k\,$ y $L_{k+1}\,$:

(2)

$\Omega_k = \int_0^{L_k} \mathcal{M}^{(k)}_{iso}(x)dx, \qquad \qquad \Omega_{k+1} = \int_0^{L_{k+1}} \mathcal{M}^{(k+1)}_{iso}(x)dx$

$D_k, d_k\,$ son las distancias a los centros de gravedad de los diagramas de momentos flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede calcular como:

(3)

$D_k = \frac{1}{\Omega_k} \int_0^{L_k} x\mathcal{M}^{(k)}_{iso}(x)dx, \qquad \qquad d_k = \frac{1}{\Omega_{k+1}}\int_0^{L_{k+1}} (L_{k+1}-x)\mathcal{M}^{(k+1)}_{iso}(x)dx$

Casos particulares

Carga continua y uniforme

Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de puentos, viga y otros elementos con una carga uniforme es un caso particular del teorema de los tres momentos:

$M_{k-1}L_k + 2M_k(L_k+L_{k+1}) + M_{k+1}L_{k+1} = -\left( \frac{qL^3_k}{4} + \frac{qL^3_{k+1}}{4} \right)$

Cálculo de áreas y distancias

Las fórmulas integrales (2) y (3) no resultan cómodas en el caso general, sin embargo, para los casos má frecuentes de carga es posible calcular el área del diagarama de momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores son:

Fórmulas para el área y los centros de gravedad

Tipo de carga	$q_i(x)\,$	$\mathcal{M}^i_{iso}(x)$	$\Omega_i\,$	$D_i\,$	$d_i\,$
Uniforme	$q\,$	$\frac{q}{2}x(L-x)$	$\frac{qL^3}{12}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Puntual	$P\delta(x-a),\ 0\le a \le L\,$	___	$\frac{Pa(L-a)}{2}$	$\frac{L+a}{3}$	$\frac{2L-a}{3}$
Triangular	$q\frac{x}{L}$	$\frac{qL^2}{6}\left[\frac{x}{L}-\frac{x^3}{L^3}\right]$	$\frac{qL^3}{24}$	$\frac{8L}{15}$	$\frac{7L}{15}$
Potencial	$q\frac{x^n}{L^n}$	___	$\frac{qL^3}{2(n+2)(n+3)}$	$\frac{2L}{3}\frac{n+3}{n+4}$	$\frac{L}{3}\frac{n+6}{n+4}$
Uniforme inicial	$\begin{cases} q & 0\le x \le a \\ 0 & a\le x\le L \end{cases}$	___	$\frac{qa^2}{12}(3L-2a)$	$\frac{2L^2-a^2}{2(3L-2a)}$	$L-D_i\,$
Uniforme centrada	$\begin{cases} 0 & 0\le x \le \frac{L}{2}-c\\ q & \frac{L}{2}-c\le x\le \frac{L}{2}+c\\ 0 & \frac{L}{2}+c\le x\le L \end{cases}$	___	$qc\left(\frac{L^2}{4}-\frac{c^2}{3}\right)$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Senoidal	$q_0\sin \frac{\pi x}{L}$	$\frac{q_0 L^2}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{L}$	$\frac{2q_0L^3}{\pi^3}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Triangular centrada	$\begin{cases} \frac{qx}{L} & 0\le x \le \frac{L}{2} \\ q-\frac{qx}{L} & \frac{L}{2}\le x\le L \end{cases}$	___	$\frac{5qL^3}{192}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$

Teorema de los dos momentos

El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un empotramiento a la derecha y otro apoyo simple a la izquierda el teorema de los dos momentos establece que la relación entre ambos es:

(4a) $2M_k + M_{k+1} = -6\left( \frac{\Omega_{k+1} d_{k+1}}{L_{k+1}^2} \right)$

Expresión que puede obtenerse como caso límite del teorema de los tres momentos anterior haciendo $\Omega_k = 0\,$ y $L_k \to 0\,$. Si el empotramiento está en el apoyo de la izquierda:

(4b) $M_{k-1} + 2M_k = -6\left( \frac{\Omega_k D_k}{L_k^2} \right)$

Que también se obtiene de la expresión de los tres momentos haciendo $\Omega_{k+1} = 0\,$ y $L_{k+1} \to 0\,$

Cálculo de reacciones

Una vez determinados los momentos hiperestáticos con ayuda del teorema de los tres momentos el cálculo de reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede hacer fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:

(5) $R_k = \overbrace{\left( \frac{M_{k-1}-M_k}{L_k} + \mathcal{R}^{(k)+}_{iso} \right)}^{izquierda (V_k^-)} + \overbrace{\left( \frac{M_{k+1}-M_k}{L_{k+1}} + \mathcal{R}_{iso}^{(k+1)-} \right)}^{derecha (V_k^+)}$

Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser inexistente. Y donde:

$\mathcal{R}_{(iso)}^{(k)-}$, es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano,

$\mathcal{R}_{(iso)}^{(k)+}$, es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.

Obviamente:

$\mathcal{R}_{iso}^{(k)-} = \left( \frac{d\mathcal{M}_{iso}^{(k)}}{dx} \right)_{x=0}, \qquad \mathcal{R}_{iso}^{(k)+} = \left( \frac{d\mathcal{M}_{iso}^{(k)}}{dx} \right)_{x=L_{k+1}}$

Ejemplos

Carga continua en dos vanos

Viga continua de tres apoyos con carga continua.

Momentos flectores para viga continua de tres apoyos con carga continua.

• Viga continua con carga uniforme en toda su longitud, siendo las dos longitudes iguales, en este caso, reflejado en la figura de la derecha el teorema de los tres momentos lleva a:

$M_A L + 2M_B(L+L) + M_C L = -6\left( \frac{\Omega_{AB} L}{2L} + \frac{\Omega_{BC} L}{2L} \right)$

Teniendo en cuenta que en este caso $\scriptstyle M_A = M_C = 0$ por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente ($\scriptstyle \Omega_{AB} = \Omega_{BC} = qL^3/12$) y susbstituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

$M_B = -\frac{qL^2}{8}$

y el diagrma de momentos flectores es como el de la figura de la derecha, y viene dado por:

$M_{fz}(x) = \begin{cases} -\frac{q}{8}Lx +\frac{q}{2}x(L-x) & 0 \le x \le L \\ -\frac{q}{8}L(2L-x) +\frac{q}{2}x(3L-x)-qL^2 & L \le x \le 2L \end{cases}$

El máximo momento flector positivo se obtiene buscando los puntos para los cuales la derivada de la función anterior se anula $\scriptstyle x = 3L/8$ y $\scriptstyle x = 13L/8$ donde:

$M_{max}^+ = \frac{9}{128}qL^2 \approx 0,0703 qL^2$

Esfuerzos cortantes para viga continua de tres apoyos con carga continua, los saltos en el diagrama coinciden con las reacciones.

Las reacciones en los apoyos pueden calcularse fácilmente mediante las ecuaciones (5):

$\begin{cases} R_A = \cfrac{\frac{-qL^2}{8} -0}{L} + \cfrac{qL}{2} = \cfrac{3qL}{8}\\ R_B = \left( \cfrac{0-\frac{-qL^2}{8}}{L} + \cfrac{qL}{2} \right) + \left( \cfrac{0-\frac{-qL^2}{8}}{L} + \cfrac{qL}{2} \right) = \cfrac{5qL}{8} + \cfrac{5qL}{8} = \cfrac{5qL}{4}\\ R_C = \cfrac{\frac{-qL^2}{8} -0}{L} + \cfrac{qL}{2} = \cfrac{3qL}{8} \end{cases}$

Carga puntual en un vano

Viga continua de tres apoyos con carga puntual en el primer vano.

Momentos flectores para viga continua de tres apoyos con carga puntual.

• Viga continua con carga puntual en el primer vano, siendo las dos longitudes iguales, en este caso, reflejado en la figura de la derecha el teorema de los tres momentos lleva a:

$M_A L + 2M_B(L+L) + M_C L = -6\left( \frac{\Omega_{AB} L}{2L} + \frac{\Omega_{BC} L}{2L} \right)$

Teniendo en cuenta que en este caso $\scriptstyle M_A = M_C = 0$ por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente ($\scriptstyle \Omega_{AB}=FL^2/8,\ \Omega_{BC} = 0$) y susbstituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

$M_B = -\frac{3FL}{32}$

El momento flector máximo se da en el primer vano y puede ser calculado como:

$M_{max} = \frac{M_B}{4} +\frac{FL}{4} = -\frac{3}{64}FL +\frac{FL}{4} = -\frac{13}{64}FL$

Esfuerzos cortantes para viga de tres apoyos con una carga puntual, los saltos en el diagrama coinciden con las reacciones.

y el diagrma de momentos flectores es como el de la figura de la derecha. Las reacciones en los apoyos calculadas mediante las ecuaciones de (5):

$\begin{cases} R_A = \cfrac{\frac{-3FL}{32} -0}{L} + \cfrac{F}{2} = \cfrac{13F}{32}\\ R_B = \left(\cfrac{0-\frac{-3FL}{32}}{L} + \cfrac{F}{2}\right) + \left(\cfrac{0-\frac{-3FL}{32}}{L} + 0 \right) = \cfrac{19F}{32} + \cfrac{3F}{32} = \cfrac{11F}{16}\\ R_C = \cfrac{\frac{-3FL}{32} -0}{L} + 0 = -\cfrac{3F}{32} \end{cases}$

Referencias

1. ↑ Srivastava and Gope: Strength of Materials, page 73 [1]

Bibliografía

• Ortiz Berrocal, L., Resistencia de materiales, McGraw-Hill, 2002, ISBN 84-481-3353-6.