Formulación débil de una ecuación diferencial

Formulación débil de una ecuación diferencial

La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional.

A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil teorema de Lax-Milgram que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil.

Contenido

Introducción

Considérese una ecuación diferencial y unas condiciones de contorno de la forma:

(1a) \begin{cases} \mathcal{D}(u) = f \\
u|_\Gamma = u_0, \qquad u:\Omega \to \R^n \qquad \Gamma \subset \part\Omega \end{cases}

Donde:

\mathcal{D} es un operador diferencial.
u\, es la función matemática incógnita o solución que se busca de la ecuación diferencial.
f\, es una función matemática conocida que sirve para definir el problema (en un problema mecánico usualmente define las fuerzas, en un problema térmico los flujos de calor o las temperaturas, etc).

Para encontrar la forma débil del problema anterior necesitamos presuponer ciertas condiciones razonables sobre la solución, en concreto, necesitamos suponer que la función conocida f\in V_f y la función incógnita u\in V_u pertenecen cada una a un espacio de funciones (Vf,Vu) que tienen estructura de espacios de Banach reflexivos (V_u = V_u'' \and V_f = V_f''). Más concretamente, la hipótesis común es que el espacio de Banach al que pertenece la función incógnita es un subespacio V_u \subset V_f' del espacio dual de V_f\,. Hechas esas precisiones el problema (1) se puede formular como:

(1b) \mathbf{A}_\mathcal{D}u = f \in V_u',

Donde:

\mathbf{A}_\mathcal{D}:V_u \to V_u' y f\in V_u' es espacio dual de V_u\,.

Formulados en esa forma los problemas (1a) y (1b) son esencialmente equivalentes e igualmente difíciles. La forma débil del problema se obtiene a partir de cálculo de variaciones que nos dice si u\, es solución de (1b) entonces también es solución del problema (2a):

(2a) [\mathbf{A}_\mathcal{D}(u)](v) = f(v), \forall v\in V_u.

Las funciones, v\, se llaman funciones de prueba y el conjunto de todas ellas genera el espacio de Banach V_u\,. Cuando el operador \mathbf{A}_\mathcal{D} es lineal entonces el problema (2a) se puede escribir mediante una forma bilineal a(\cdot,\cdot):V_u\times V_u \to \R^n como:

(2b)  a(u,v) = f(v) \quad \forall v\in V,

Donde la forma bilineal viene dada por:

a(u,v) := [\mathbf{A}_\mathcal{D}u](v).

Debido a que la introducción anterior es probablemente muy abstracta conviene introducir algunos ejemplos para ilustrarla.

Ejemplos

En esta sección se particularizan los resultados anteriores a dos casos simples: la ecuación de Poisson que una vez expresada en forma débil da lugar a un problema variacional elíptico definido sobre el espacio de Sobolev y el caso del problema elástico lineal.

Ecuación de Poisson

Consideremos la ecuación de Poisson en el llamado problema de Dirichlet:

(3a) \begin{cases} -\Delta u = f \\ u:\Omega \to \R, & u = 0\ \mbox{en}\ \part\Omega \end{cases}

Donde el dominio \Omega\subset \mathbb R^d. Una solución ordinaria o "fuerte" del problema anterior es una función:

u\in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})

Sin embargo, para reformular este problema en forma débil debemos introducir alguna estructura adicional para definir propiamente los espacios funcionales sobre los que se planteará un problema esencialmente equivalente. En primer lugar definimos el producto escalar (\cdot, \cdot) típico del espacio L2(Ω):

(u,v) = \int_\Omega uv\,dx

Ahora derivamos la forma débil, multiplicando la ecuación (3a) por una función diferenciable v\, tenemos que:

 - \int_\Omega \Delta u v \,dx = \int_\Omega fv \,dx .

Suponiendo que la función v\, es de Soporte compacto contenido en el interior dominio Ω, e integrando por partes se tiene:

 \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega f v \,dx.

Como la función v\, es arbitraria, tenemos que si u es una solución "fuerte" de (3a) entonces también será una solución "débil" de (3b):

(3b) a(u,v) = f(v)\,

Donde se han definido las funciones:

\begin{cases} 
a(u,v):\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \,dx , & a(\cdot,\cdot):H_0^1(\Omega)\times H_0^1(\Omega) \to \R\\
f(v):=\int_\Omega f v \,dx & f:L^2(\Omega) \to \R \end{cases}

La forma ecuación (3b) es precisamente la "forma débil" de la ecuación de Poisson sobre el espacio de Sobolev H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega). El interés de la fórma débil es que para problemas de interés práctico la solución puede calcularse mediante el método de los elementos finitos sin mayor complicación, aún cuando una solución analítica de (3a) no sea sencilla de encontrar para un dominio dado.

Igualmente el procedimiento anterior también explica los términos "forma débil" y "solución débil": Dada una solución "fuerte" de (3a) entonces también es solución de (3b), aunque una solución de (3b) no es estrictamente una solución de (3a) a menos que dicha solución sea una función dos veces diferenciable, aunque en el sentido de las distribuciones sí es una solución en ese sentido más "débil".

Problema elástico

Artículo principal: Problema elástico

El problema elástico lineal planteado en términos de ecuaciones en derivadas parciales el problema elástico consta de las siguientes ecuaciones:

(4a) \begin{cases} -\mbox{div}\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{f}\\
\boldsymbol\sigma = \mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}) \\ 
\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}) =
\frac{1}{2} (\boldsymbol\nabla\otimes\mathbf{u} + \mathbf{u}\otimes\boldsymbol\nabla) \end{cases}

Sea ahora el domino \scriptstyle \Omega \subset \R^n, y sean la descomposición del contorno del dominio, \scriptstyle \part\Omega = \bar{\Gamma}_u \cup \bar{\Gamma}_g, siendo \scriptstyle \Gamma_u, \Gamma_g conjuntos abiertos y disjuntos (\scriptstyle {\Gamma}_u \cap {\Gamma}_g = \varnothing
) donde en cada una de esas dos áreas predominan las condiciones de Dirichlet y Von Neumann:

(4b) \begin{cases} \mathbf{u} = 0 & \mbox{en}\ \Gamma_u \\
\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{n}) = \mathbf{g} & \mbox{en}\ \Gamma_g  \end{cases}

El problema en forma variacional el problema se expresa como:

(4c) a(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \langle \ell, \mathbf{v} \rangle,
\qquad \forall \mathbf{v}\in V

Donde:

a(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \int_\Omega \mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})
:\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})\ d\Omega, es una forma bilineal sobre el espacio funcional en que se plantea el problema.
\langle \ell, \mathbf{v} \rangle = \int_\Omega \mathbf{f}\cdot\mathbf{v}\ d\Omega + 
\int_{\Gamma_g} \mathbf{g}\cdot\mathbf{v}\ d\omega

Teorema de Lax-Milgram

El teorema de Lax-Milgram garantiza la existencia y unicidad de la forma débil de diversas ecuaciones elípticas en derivadas paraciales de segundo orden. Su enunciado dice que:

Dado un espacio de Hilbert \scriptstyle V y una forma bilineal \scriptstyle b:V\times V \to \R que sea \scriptstyle V-elíptica y continua, y un funcional lineal acotado \scriptstyle \ell:V \to \R. Entonces el problema:

b(u,v) = \langle \ell, v \rangle, \quad \forall v\in V

tiene solución única \scriptstyle u \in V, y existe una constante \scriptstyle c>0 que no depende de \scriptstyle \ell tal que:

\|u\| \le c \| \ell \|

El teorema anterior puede generalizarse en varias maneras una de ellas cambiando la igualdad por una desigualdad. Por ejemplo la formulación variacional de un problema elastoplástico requiere el uso de inecuaciones (desigualdades) variacionales elípticas. Una inecuación variacional elíptica de segunda especie (IVE2) tiene la forma:

(IVE2) b(u,v-u) +j(v) - j(u) \ge \langle \ell, v-u \rangle, \quad \forall v\in V

Si \scriptstyle j(\cdot) se anula idénticamente entonces se tiene una inecuación elíptica de primera especie. Para este tipo de generalización puede se tiene la siguiente generalización del teorema de Lax-Milgram:

Dado un espacio de Hilbert \scriptstyle V y una forma bilineal \scriptstyle b:V\times V \to \R que sea \scriptstyle V-elíptica y continua, y un funcional lineal acotado \scriptstyle \ell:V \to \R y \scriptstyle j:V \to \R\cup \{\infty\} un funcional propio, convexo e inferiormente semicontinuo sobre V, entonces el problema (IVE2) tiene una única solución.

Este teorema usa en su demostración el teorema del punto fijo de Banach. Además un funcional \scriptstyle j(\cdot) no necesariamene acotado se es propio si al menos en algún punto es finito, y es inferiormente semicontinuo si para cualquier secuencia convergente \scriptstyle \{ x_n\} \to x se cumple que:

\lim_{n \to \infty} \inf j(x_n) \ge j(x)

Referencia

Bibliografía

  • P. G. Ciarlet (1978):The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
  • P. G. Ciarlet (1991):"Basic error estimates for elliptic problems" en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions y P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, Amsterdam, 1991, p. 17-351.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Solución débil — En matematicas, una solución débil (también llamada solución generalizada) de una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales es una función en la cual las derivadas que aparecen en la ecuación pueden no todas existir aunque se… …   Wikipedia Español

  • Método de los elementos finitos — Solución de MEF en 2D para una configuración de un magnetostato, (las líneas muestran la dirección de la densidad de flujo calculada, y el color, su magnitud) …   Wikipedia Español

  • Espacio vectorial — Saltar a navegación, búsqueda Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse. Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra… …   Wikipedia Español

  • Dualidad onda corpúsculo — Imagen ilustrativa de la dualidad onda partícula, en el cual se puede ver cómo un mismo fenómeno puede tener dos percepciones distintas. La dualidad onda corpúsculo, también llamada dualidad onda partícula, resolvió una aparente paradoja,… …   Wikipedia Español

  • Relatividad general — Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el… …   Wikipedia Español

  • Teorema de equipartición — Figura 1. Movimiento térmico de un péptido tipo hélice α. El movimiento vibratorio es aleatorio y complejo, y la energía de un átomo en particular puede fluctuar ampliamente. Sin embargo, el teorema de equipartición permite que se pueda calcular… …   Wikipedia Español

  • Física — Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes. Sir …   Wikipedia Español

  • Equilibrio químico — Saltar a navegación, búsqueda En un proceso químico, el equilibrio químico es el estado en el que las actividades químicas o las concentraciones de los reactivos y los productos no tienen ningún cambio neto en el tiempo. Normalmente, este sería… …   Wikipedia Español

  • Ley de Fick — La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adolf Fick, que… …   Wikipedia Español

  • Campo de Yang-Mills — Esquema perturbativo de QFT para la interacción de un electrón (e) con un quark (q), la línea azul representa un campo electromagnético (campo de Yang Mills con simetría U(1)) y la línea verde un campo de color (campo de Yang Mills con simetría… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”