Serie de Bell

En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética f y un número primo p, se define la serie de potencias formal f_p(x), llamada serie de Bell de f módulo p como:

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.$

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas f y g, se tiene que f = g si y sólo si:

f_p(x) = g_p(x) para todos los primos p.

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera f y g, sea h = f * g su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo p, se tiene que:

$h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,$

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si f es completamente multiplicativa, entonces:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Ejemplos

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

• La función de Moebius μ tiene μ_p(x) = 1 − x.
• Función φ de Euler φ tiene $\varphi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet δ tiene δ_p(x) = 1.
• La función de Liouville λ tiene $\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• La función potencia Id_k tiene $(\textrm{Id}_k)_p(x)=\frac{1}{1-p^kx}.$ Aquí, Id_k es la función completamente multiplicativa $\operatorname{Id}_k(n)=n^k$.
• La función divisor σ_k tiene $(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k) x+p^kx^2}.$

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3