P-grupo

En matemáticas, dado un número primo p, un p-grupo es un grupo periódico en el que cada elemento tiene como orden una potencia de p: cada elemento es de orden potencia prima. Esto es, para cada elemento g del grupo, existe un entero no negativo n tal que g elevado a la potencia pⁿ es igual al elemento identidad. Tales grupos son también llamados como p-primos o simplemente primos.

Un grupo finito es un p-grupo sí y sólo sí su orden (su cardinalidad) es una potencia de p. El resto de este artículo trata sobre p-grupos finitos. Como ejemplo de un p-grupo abeliano infinito se tiene el grupo de Prüfer, y como ejempo de un p-grupo simple infinito podemos ver el grupo de Tarski.

Propiedades

Centro no trivial

Uno de los primeros resultados que se deducen es que el centro de un p-grupo finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial.

Este hecho constituye la base para muchos de los métodos inductivos en la teoría de p-grupos.

Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p-grupo finito G propiamente contiene a H, ya que para cualquier contraejemplo con H=N, el centro Z está contenido en N, y a su vez en H, pero entonces ha un ejemplo menor H/Z cuyo normalizador en G/Z es N/Z=H/Z, creando un descenso infinito. Como corolario, todo p-grupo finito es nilpotente.

De otro lado, todo subgrupo normal de un p-grupo finito tiene intersección distinta de la trivial con el centro. En particular, todo subgrupo normal minimal de un p-grupo finito es de orden p y está contenido en el centro. Es más, el subgrupo generado por los subgrupos normales minimales de un p-grupo finito es el subgrupo cuyo centro es aquel formado por los elementos centrales de orden p.

Si G es un p-grupo, entonces también lo es G/Z, y por lo tanto también tiene centro no trivial. La preimagen en G del centro de G/Z se llama segundo centro. Generalizando lo comentado anteriormente sobre el subgrupo generado por los subgrupos normales minimales de un p-grupo (en notación inglesa socle), un p-grupo finito con orden pⁿ contiene subgrupos normales de orden pⁱ con 0 ≤ i ≤ n, y cualquier subgrupo normal de orden pⁱ es contenido en el i-ésimo centro Z_i. Si un subgrupo normal no está contenido en Z_i, entonces su intersección con Z_i+1 tiene un tamaño como mínimo pⁱ⁺¹.

Automorfismos

El grupo de automorfismos de los p-grupos son bien conocidos. Dado que todo p-grupo finito tiene un centro no trivial, el grupo de automorfismos interiores es un cociente propio del grupo, todo p-grupo finito tiene un grupo de automorfismos externos no trivial. Todo automorfismo de G induce un automorfismo sobre G/Φ(G), donde Φ(G) es el subgrupo de Frattini de G. El grupo cociente (grupo factor) G/Φ(G) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismos es un grupo lineal general. La aplicación desde el grupo de automorfismos de G en este grupo lineal ha sido estudiado por Burnside, quien demostró que el núcleo de dicha aplicación es un p-grupo.

Clasificación

Los grupos de orden pⁿ, con 0≤ n ≤ 4 fueron clasificados muy pronto en la historia de la teoría de grupos. Trabajos más recientes han extendido dichas clasificaciones a grupos cuyo orden divide a p⁷, aunque el gran número de familias de estos grupos crece tan rápidamente que otras clasificaciones bajo estas líneas se consideran incomprensibles para la mente humana (Leedham-Green y McKay, 2002, p. 214). Un ejemplo es (Hall y Senior, 1964), que clasifica grupos de orden $2^n, n \leq 6,$.

En lugar de clasificar los grupos por el orden, Philip Hall propuso usar la noción de isoclinismo de grupos, una relación de equivalencia más amplia que la de isomorfismo de grupo pero que contiene a ésta última, i.e., dos grupos isomorfos son isoclínicos, pero no tiene por qué ocurrir lo contrario (Hall, 1940).

Referencias

• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2002), «A millennium project: constructing small groups», International Journal of Algebra and Computation 12 (5): 623–644, doi:10.1142/S0218196702001115, MR1935567 
• Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, http://books.google.com/?id=yBgPAAAAIAAJ&printsec=titlepage 
• Glauberman, George (1971), «Global and local properties of finite groups», Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969), Boston, MA: Academic Press, pp. 1–64, MR0352241 
• Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. (1964), The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6), Macmillan, MR168631. An exhaustive catalog of the 340 groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface). 
• Hall, Philip (1940), «The classification of prime-power groups», Journal für die reine und angewandte Mathematik 182 (182): 130–141, doi:10.1515/crll.1940.182.130, MR0003389, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X 
• Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series, 27, Oxford University Press, MR1918951, ISBN 978-0-19-853548-5 
• Sims, Charles (1965), «Enumerating p-groups», Proc. London Math. Soc. (3) 15: 151–166, doi:10.1112/plms/s3-15.1.151, MR0169921 
• Y. Berkovich, Groups of Prime Power Order, Volume 1, W. de Gruyter, Berlin, 2008.
• Y. Berkovich and Z. Janko, Groups of Prime Power Order, Volume 2, W. de Gruyter, Berlin, 2008.