Mediana (geometría)

Las medianas de un triángulo (líneas rojas) se cortan en el baricentro del mismo.

En geometría las transversales de gravedad.</ref> de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos de recta, que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Propiedades

Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).

Las medianas tienen las siguientes propiedades:

• Cada mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.

• Las tres medianas se intersectan en el baricentro, centro de gravedad del triángulo o centroide, marcado como G en la figura.
• Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
• Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c, medianas m_a,m_b,m_c y perímetro p, se cumple la siguiente desigualdad:^[1]

$\frac{3}{4}p< \left( m_a+m_b+m_c\right)<\frac{3}{2}p$

• Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c y medianas m_a,m_b,m_c, la suma de los cuadrados de las medianas es igual a ¾ de la suma de los cuadrados de sus lados:^[1]

$m_a^2+m_b^2+m_c^2\;=\;\tfrac{3}{4}\;(a^2+b^2+c^2).$

Relación con el centro de gravedad

Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de levitacion estra molecular de un objeto con forma de cuadrado (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo.

Teorema de la mediana

fig. m1: Esquema con áreas → ( ${\scriptstyle{ \color{Red} a^2}\;+\;{ \color{Orange} b^2 }\; =\; { \color{Blue} \frac{1}{2}\;c^2 }\;+\;{ \color{OliveGreen} 2\;M^2 }}$ ).

Artículo principal: teorema de Apolonio

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana) Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente. Apolonio de Perga

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

$a^2+b^2=\frac{1}{2}\;c^2 + 2\;M^2$

Medianas (fórmulas de aplicación práctica)

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

$M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}$
$M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}$
$M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}$
$a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}$	$b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}$	$c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}$
$a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}$	$b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}$	$c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}$
$a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$	$b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$	$c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}$
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )[2] — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

Véase también

• Triángulo
• Teorema de Stewart
• Teorema de Apolonio (Teorema de la mediana).
• Ley del paralelogramo

Referencias

1. ↑ ^{a b} Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
2. ↑ Déplanche, Y.,Diccio fórmulas, 1996, Edunsa (publ.), "Medianas de un triángulo" pág. 25. [1], isbn=9788477471196

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Triangle Median» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

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