Matemática babilónica

Tablilla de barro babilónica YBC 7289 con anotaciones. La diagonal muestra una aproximación de la raíz cuadrada de 2 en cuatro figuras hexadecimales, que son como seis figuras decimales.
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296...

La matemática babilónica (también conocida como matemática asirio-babilónica^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} ) se refiere al conjunto de conocimientos matemáticos que desarrollaron los pueblos de Mesopotamia, desde la temprana civilización sumeria hasta la caída de Babilonia en 539 a.C. Los textos de matemática babilónica son abundantes y están bien editados;^[7] se pueden clasificar en dos períodos temporales: el referido a la Antigua Babilonia (1830-1531 a.C.) y el correspondiente al seléucida de los últimos tres o cuatro siglos a.C. En cuanto al contenido, hay apenas diferencias entre los dos grupos de textos. La matemática babilónica permaneció constante, en carácter y contenido, por aproximadamente dos milenios.^[7] En contraste con las escasas fuentes de matemática egipcia, nuestro conocimiento de la matemática babilónica se deriva de unas 400 tablillas de arcilla excavadas desde los 1850's. Escritas en escritura cuneiforme, las tablillas se grababan mientras la arcilla estaba húmeda, y luego eran endurecidas en un horno o calentándolas al sol. La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan de 1800 a 1600 a.C., y abarcan temas que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el teorema de Pitágoras. La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de $\sqrt{2}$ con cinco decimales de certitud.

Numerales babilónicos

Artículo principal: Numeración babilónica

El sistema de numeración babilónico era un sistema de numeración sexagesimal (base-60). De aquí se deriva el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora, 360 grados en un círculo. Los babilonios fueron capaces de realizar grandes avances en matemátcas por dos razones: en primer lugar, el número 60 es un número altamente compuesto, con divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, lo cual facilita los cálculos con fracciones; adicionalmente, a diferencia de egipcios y romanos, los babilonios e indios poseían un verdadero sistema de notación posicional, en donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representan valores mayores (tal y como en nuestro sistema de base diez: 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). Los sumerios y babilonios fueron pioneros a este respecto.

Matemática sumeria (300–2300 a.C.)

Los antiguos sumerios de Mesopotamia desarrollaron un complejo sistema de metrología desde el año 3000 a.C. A partir del año 2600 a.C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y realizaron ejercicios geométricos y problemas de división. Las trazas más antiguas de los numerales babilónicos se remontan también a este período.^[8]

Matemática en la Antigua Babilonia (2000–1600 a.C.)

El período de la Antigua Babilonia es el período al cual pertenecen la mayoría de las tablillas de arcilla, que es por lo que la matemática de Mesopotamia es comúnmente conocida como matemática babilónica. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas, otras contienen problemas y soluciones desarrolladas.

Aritmética

Los babilonios hicieron uso extensivo de tablas precalculadas para asistirse en la aritmética. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el Éufrates en 1854, datadas del 200 a.C., dan listas de los cuadrados perfectos hasta el 59 y de números cúbicos hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto a las fórmulas

$ab = \frac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}$

$ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$

para simplificar la multiplicación.

Los babilonios no tenían un algoritmo para la división, en su lugar basaban su método en el hecho de que

$\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$

junto con una tabla de recíprocos. Números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5-liso o regulares) tienen finitos recíprocos en notación sexagesimal, y se han hallado tablas con extensas listas de estos recíprocos.

Recíprocos tales como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representación finita en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o para dividir un número por 13 los babilonios utilizarían un aproximación tal como

$\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600}.$

Álgebra

Así como los cálculos aritméticos, los matemáticos babilonios también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas.

Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios usaban esencialmente la fórmula cuadrática. Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma

$\ x^2 + bx = c$

donde aquí b y c no eran necesariamente enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de la ecuación es

$x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c}$

y utilizarían las tablas de cuadrados en reversa para encontrar raíces cuadradas. Siempre utilizaban la raíz positiva pues esto tenía sentido al resolver problemas «reales». Problemas de este tipo incluía encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad por la cual el largo exedía el ancho.

Tablas de valores de n³ + n² eran usadas para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, dada la ecuación

$\ ax^3 + bx^2 = c$

multiplicando la ecuación por a² y dividiendo por b³ se obtiene

$\left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3}$;

substituyendo y = ax/b se obtiene

$y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}$

lo cual se puede resolver buscando en la tabla n³ + n² el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios realizaban esto sin notación algebraica, demostrando una remarcable profundidad de entendimiento. No obstante, no poseían un método para resolver la ecuación general de tercer grado.

Modelos de crecimiento

Los babilonios modelaban el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (vía una forma de funciones sigmoides) y el tiempo doble, esto último dentro del contexto de interés sobre préstamos.

Las tablillas de barro del 2000 a.C. incluyen el ejercicio «dada una tasa de interés de 1/60 por mes (no compuesta), calcular el tiempo doble». Esto da un interés anual de 12/60=20%, y un tiempo doble de 100% crecimiento/20% crecimiento por año = 5 años.^{[9] [10]}

Plimpton 322

La tablilla Plimpton 322 describe un método para resolver lo que hoy en día se describe como funciones cuadráticas de la forma

$x-\tfrac1x=c$,

por pasos (descritos en términos geométricos) donde el se calculan secuancias de valores intermedios v₁ = c/2, v₂ = v₁², v₃ = 1 + v₂ y v₄ = v₃^1/2, de donde se puede calcular x = v₄ + v₁ y 1/x = v₄ - v₁. Las investigaciones de Robson (2001, 2002), publicadas por la Mathematical Association of America^[11] , nota que Plimpton 322 puede interpretarse como los valores siguientes, para valores numéricos regulares de x y 1/x en orden numérico:

v₃ en la primera columna,

v₁ = (x - 1/x)/2 en la segunda columna y

v₄ = (x + 1/x)/2 en la tercera columna.

En esta interpretación, x y 1/x habrían aparecido en la tablilla en la parte desprendida, a la izquierda de la primera columna. Por ejemplo, fila 11 de Plimpton 322 puede ser generada de esta forma para x = 2.

Robson señala que Plimpton 322 revela "métodos [matemáticos] -—pares recíprocos, geometría de copiar-y-pegar, completar el cuadrado, dividir por factores comunes regulares-— [las cuales] eran todas técnicas simples enseñadas en las escuelas de escribas" de ese tiempo.^[12]

La tabla había sido interpretada por matemáticos expertos como una lista de triples pitagóricos y funciones trigonométricas; en 2002 la Mathematical Association of America^[11] publicó la invesigación de Robson y (en 2003) lo premió con el Lester R. Ford Award por la interpretación moderna rechazando los errores previos.

Geometría

Los babilonios conocían las reglas usuales para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo de la raíz de la circunferencia, lo cual es correcto para una estimación de π a 3. El volumen de un cilindro se calculaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen de un cono truncado o una pirámide cuadrangular se calculaban incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también les era conocido. Recientes descubrimientos indican que en una tablilla se usaba π como 3 y 1/8. De los babilonios deriva la milla babilónica, una medida de distancia equivalente a siete millas actuales, aproximadamente. Esta medida de distancias se convirtió en la unidad milla-tiempo, utilizada para medir el recorrido del sol, como una representación de tiempo.^[13]

Los antiguos babilonios conocieron los teoremas sobre los lados y las razones de triángulos semejantes por muchos siglos, pero desconocían el concepto de medida angular y, consecuentemente, estudiaban los lados de los triángulos en su lugar.^[14]

Los astrónomos babilonios mantuvieron un registro detallado de las salidas y las puestas de las estrellas, el movimiento de los planetas, los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere familiaridad con las distancias angulares medidas sobre la esfera celeste.^[15]

También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierta en los 1950's por Otto Neugebauer.^{[16] [17] [18] [19]}

Influencia

A partir del redescubrimiento de la civilización babilónica, se ha hecho evidente que los matemáticos y astrónomos de la Grecia antigua y del período helenístico tomaron mucho de los babilonios, en particuilar Hiparco de Nicea.

Franz Xaver Kugler, en su libro Die Babylonische Mondrechnung ("El cómputo lunar babilonio", Freiburg im Breisgau, 1900) demuestra lo siguiente: Ptolomeo sostenía en su Almagesto IV.2 que Hiparco mejoró los valores de los períodos lunares por él conocidos en base a "astrónomos incluso más antiguos", comparándolos con observaciones de eclipses hechas anteriormanete por "los Caldeos", y por él mismo. Sin embargo, Kugler encuentra que los períodos que Ptolomeo le atribuye a Hiparco ya habían sido utilizados en las efemérides babilónicas, específicamente la colección de textos hoy llamada "Sistema B" (algunas veces atribuido a Kidinnu). Aparentemente Hiparco sólo confirma la validez de los períodos que había aprendido de los Caldeos, con sus propias observaciones.

Véase también

• Babilonia (región)
• Historia de la matemática
• Astronomía babilónica

Notas

1. ↑ Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67; 137–170.
2. ↑ Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.
3. ↑ Bruins, E.M. (1953). 'La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.
4. ↑ Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.
5. ↑ Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.
6. ↑ Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology'. In Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.
7. ↑ ^{a b} Aaboe, Asger. "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy." The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991).
8. ↑ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
9. ↑ Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises, Michael Hudson
10. ↑ Have we caught your interest? John H. Webb
11. ↑ ^{a b} Véase en:Mathematical Association of America
12. ↑ Robson (2002), American Mathematical Monthly, pp. 117-118.
13. ↑ Eves, Chapter 2.
14. ↑ Boyer (1991). «Greek Trigonometry and Mensuration». 
15. ↑ name=Maor-20>{{Cita libro |título=Trigonometric Delights|nombre=Eli|apellido=Maor|año=1998|editorial=Princeton University Press|isbn=0691095418
16. ↑ Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhäuser. ISBN 978 0 81764125 2. http://books.google.com/?id=fye--TBu4T0C , p. 62
17. ↑ Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete thoughts. Birkhäuser. ISBN 978 0 81763866 5. http://books.google.com/?id=H5smrEExNFUC , p. 11
18. ↑ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 edición). Dover Publications. ISBN 978-048622332-2. http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C. 
19. ↑ Analyzing shell structure from Babylonian and modern times. 

Referencias

• Berriman, A. E., The Babylonian quadratic equation (1956).
• Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, (1989) ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
• Joseph, G. G., The Crest of the Peacock, Princeton University Press (October 15, 2000), ISBN 0-691-00659-8.
• Joyce, David E. (1995). Plimpton 322. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html. 
• Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 edición). Dover Publications. ISBN 978-048622332-2. http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C. 
• O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., "An overview of Babylonian mathematics", MacTutor History of Mathematics, (December 2000).
• Robson, Eleanor (2001). «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322». Historia Math. 28 (3):  pp. 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. 
• Robson, E., Words and pictures: New light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly. Washington: Feb 2002. Vol. 109, Iss. 2; pg. 105
• Robson, E. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press (2008)
• Toomer, G. J., Hipparchus and Babylonian Astronomy, (1981).