Lógica de clases

La lógica de clases considera la proposición considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo a una determinada clase. Es la interpretación de una proposición o enunciado lingüístico bajo la formalización de la teoría de conjuntos o Diagramas de Venn

Por clase se entiende un conjunto de individuos que tienen una propiedad común. Nótese que la propiedad define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lógica de predicados. En este caso, por tanto, el valor de verdad viene dado por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello, la tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

Así, no es lo mismo decir: "Hs = Sócrates es un hombre" (donde atribuimos una cualidad que atañe al ser mismo de Sócrates), que decir: "S $\in$ H = Sócrates pertenece a la clase de los hombres."

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos. Así, la clase hombre, como concepto de hombre, existe aunque no existan los hombres. De la misma forma que existe el concepto de "caballos con alas", aun cuando no existan pegasos.

Actualmente la lógica llamada tradicional, silogística, se interpreta como lógica de clases.

Elementos y su simbolización

Clase universal.

• Universo: es la clase de todas las clases, de todos los elementos del universo que estemos considerando. Se la llama clase universal. U
• Clase vacía: clase que no tiene ningún elemento : Ø
• Individuos: x₂x₃....x_n
• Clase: conjunto de individuos que tienen una propiedad en común. Puede significarse de varias maneras:

A = (x₂x₃....x_n) - Por enumeración

A = (Todos los nacidos en Asturias) - Por definición de una propiedad

A = $\bigwedge x$ ( x/ nacido en Asturias) - Por un función proposicional cuantificada^[1]

• Pertenencia: $\in$ No pertenencia: $\notin$
• Generalizador: $\bigwedge x$ Todo x.
• Particularizador: $\bigvee x$ Algún x
• Conectivas : $\land, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ - Definidas de igual forma que en la lógica de enunciados relativas a la pertenencia o no pertenencia de un individuo a una clase.^[2]
• La negación se define como una operación entre las clases, la clase complementaria.

Operaciones entre las clases y su simbolización

a) Clase complementaria: clase complementaria de una clase A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esa clase A.

$A = \bigwedge x (x \in A)$

$\bar A = \bigwedge x (x \notin A)$ Observemos que equivale a la negación.

Definición Clase Complementaria

A	$\bar A$
$\in$	$\notin$
$\notin$	$\in$

b) Clase unión o unión de clases: la clase unión de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o a otra clase.

A = $\bigwedge x (x \in A)$

B = $\bigwedge x (x \in B)$

$A \cup B$ = $\bigwedge x (x \in A \lor x \in B)$

Observamos que equivale a la disyunción.

Definición Clase Unión de Clases

A	B	$A \cup B$
$\in$	$\in$	$\in$
$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin$	$\in$	$\in$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

b)Intersección de clases o clase intersección: clase intersección de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una y a otra clase.

A = $\bigwedge x (x \in A)$

B = $\bigwedge x (x \in B)$

$A \cap B$ = $\bigwedge x (x \in A \land x \in B)$

Definición Clase Intersección de Clases

A	B	$A \cap B$
$\in$	$\in$	$\in$
$\in$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

Observamos que equivale a la conjunción.

c)Diferencia: clase diferencia es la clase formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

A = $\bigwedge x (x \in A)$

B = $\bigwedge x (x \in B)$

$A - B = A \cap \overline{B}$ = $\bigwedge x (x \in A \land x \in \overline{B})$

Definición Clase Diferencia de Clases

A	B	A − B
$\in$	$\in$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin$	$\in$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

Relaciones entre las clases

Equivalencia de clases.

Inclusión de clasesl.

Disyunción de clases.

a) Identidad o equivalencia: puede suceder que todos los miembros de una clase lo sean también de otra, y viceversa. Por ejemplo:

$A = \bigwedge x (x \in A)$;

$B = \bigwedge x (x \in B)$

A = B; $def. \bigwedge x (x \in A \leftrightarrow x \in B)$

A = Todos los niños que tienen un año de edad. B = Todos los niños nacidos hace un año.

Pongamos atención en que la equivalencia se refiere a la extensión de los individuos que pertenecen a la clase, pero formalmente la propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentido decir A = B como clases diferentes, pero equivalentes.

b) Inclusión: cuando todos los miembros de una clase pertenecen a otra

$A = \bigwedge x (x \in A)$;

$B = \bigwedge x (x \in B)$

$A \subset B$; $def. \bigwedge x (x \in A \rightarrow x \in B)$

c) Disyunción: cuando ningún elemento de B pertenece a A, ni ningún elemento de A pertenece a B.

$A = \bigwedge x (x \in A)$;

$B = \bigwedge x (x \in B)$

A | B; $def. \bigwedge x(x \in A \rightarrow x \notin B) \land (x \in B \rightarrow \notin A)$; $A | B = A \subset \bar{B}$

Proposiciones tipo

La clásica clasificación aristotélica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", se interpreta como:^[3]

$\bigwedge x (x \in S \to x \in P)\leftrightarrow \quad S\subset P$

Tipo E: ningún S es P. "Ningún hombre es mortal", se interpreta como:

$\bigwedge x (x \in S \to x \notin P)$ $\leftrightarrow$ $S \subset \bar P$

Tipo I: algún S es P. "Algún hombre es mortal", se interpreta como

$\bigvee x (x \in S \land x \in P)$ $\leftrightarrow$ $S \cap P$

Tipo O: algún S es No-P. ´"Algún hombre no es mortal", se interpreta como

$\bigvee x (x \in S \land x \notin P)$ $\leftrightarrow$ $\lnot (S \subset P)$

Reglas del cálculo de clases

Como leyes lógicas, es decir tautologías que se pueden comprobar mediante tablas de pertenencia, se estableces algunas reglas que resultan útiles para los algoritmos de cálculo de deducción de proposiciones:

Leyes asociativas: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

Leyes conmutativas: $A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

Leyes distributivas: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Ley de involución: No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): A = \bar \bar A

Leyes de De Morgan: No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \lnot (A \cup B) \leftrightarrow \bar \bar A \cap \bar \bar B

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \lnot (A \cap B) \leftrightarrow \bar \bar A \cup \bar \bar B

Leyes de absorción: $A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

Ley de contraposición: $A \subset B = \bar B \subset \bar A$

Ley de la transitividad: $\big[(A \subset B) \wedge (B \subset C) \big] \to (A \subset C)$

Junto con estas leyes específicas se mantienen las mismas reglas del cálculo de enunciados, en las relaciones de unas proposiciones con otras.

Véase también

• Lógica
• Silogismo
• Cálculo lógico
• Lógica matemática
• Lógica proposicional

Notas y referencias

1. ↑ Que se lee: Todo x tal que x pertenece a la clase de los nacidos en Asturias
2. ↑ Estas funciones lógicas se encuentran definidas en Tabla de valores de verdad
3. ↑ En la formalización gráfica de los silogismos esta relación de inclusión, es decir los juicios universales afirmativos tipo A, se representan interpretando la proposición como: "No hay ningún S que no sea P. Véase Silogismo.

Bibliografía

• Deaño, Alfredo (1974). Introducción a la lógica formal. Madrid: Alianza. ISBN 84-206-2064-5. 
• Copi, Irving (1982). Lógica simbólica. Mexico D. F.: Continental. ISBN 968-26-0134-7. 
• Garrido, M. (1974). Lógica simbólica. Madrid: Tecnos. ISBN 84-309-0537-5.