Grupo de Tarski

En matemáticas, un grupo de Tarski (en notación inglesa Tarski monster group), es un grupo infinito G tal que para todo subgrupo propio H, i.e., $H\subset G$, con excepción del subgrupo identidad, es un grupo cíclico de orden igual a un primo p. Un grupo de Tarski es necesariamente grupo simple. En 1979, A. Yu. Olshanskii demostró que el grupo de Tarskii existe y que existe un p-grupo de Tarskii para todo primo p > 10⁷⁵. Son una fuente muy importante de contraejemplos para las conjeturas en [teoría de grupos]], y de forma más importante para el problema de Burnside y la conjetura de von Neumann.

Definición

Sea p un número primo. Un grupo infinito G se dice que es un grupo de Tarskii para p si todo subgrupo no trivial de G (i.e., todo subgrupo distinto de 1 y G) tiene p elementos.

Propiedades

• G tiene un número finito de generadores. De hecho es generado por cualesquiera dos elementos que no conmuten.
• G es simple. Si $N\trianglelefteq G$ y $U\leq G$ es cualquier subgrupo distinto de N el subgrupo NU tendrá p² elementos.
• La construcción de Ol'Shanskii demuestra de hecho que hay una cantidad continua (entendiendo por esto la cardinalidad de los reales) de grupos de Tarskii para cada primo p > 10⁷⁵.

Referencias

• A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279-289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309-321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369-418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553-618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series), 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6