Función distancia con signo

En matemáticas la función distancia con signo mide cuan cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otrogándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

$f(x)= \begin{cases} d(x, S) & \mbox{ si } x\in A \\ 0 & \mbox{ si } x\in S \\ -d(x, S)& \mbox{ si } x\in B \end{cases}$

donde

$d(x, S)=\inf_{y\in S}d(x, y)$ es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

• Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los $\mathbb{R}^n$ y con S con suficientes propiedades.
• Si la superficie es completa, es decir, S = cl(S) donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
• La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para Superficies

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo b_S(x) tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a cl(S) y tomará valores negativos dentro de S.

$b_{S}(x)= \begin{cases} d_{S}(x) & \mbox{ si } x\in S^+ \\ 0 & \mbox{ si } x\in cl(S) \\ -d_{S}(x)& \mbox{ si } x\in S^- \end{cases}$

Donde S ⁺ es el espacio fuera de la superficie y S ⁻ el espacio encerrado por la superficie.

• Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de b_S(x). Sabemos que la elección de un vector normal N(p) en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general b_S(x) puede tomarse como la distancia entre x y un único punto $p_{x}\in cl(S)$, y como x − p_x es paralelo a N(p) la función tomara un valor positivo si x − p_x tiene el mismo sentido que N(p) y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto

• Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de cl(S). Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos $\epsilon(S)$. Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

$\epsilon(S)= \left\{x \in \mathbb{R}^3 \; / \; b_{S}(x)= s\|x - p_{x}\| = s\|x - p_{y}\|, \; s = \pm 1 \; y \; p_{x} \neq p_{y} \right\}$

Propiedades

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea $p_{x}\in cl(S)$ tal que $b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\|$ entonces x − p_x es normal a S en p_x.

Demostración:

Sea A la esfera de centro x y radio $\|x - p_{x}\|$. Supongamos que x − p_x no es normal a S en p_x, entonces A no es tangente a S en p_x, entonces existirá en un entorno de p_x un $p_{y} \in S$ dentro A, entonces $\|x - p_{y}\|<\|x - p_{x}\|$, lo cual es falso.

2. b_S(x) es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, $\|b_{S}(x) - b_{S}(y)\| \le \|x - y\|$.

Demostración:

Si $x \;e\; y \in S^+$ entonces $\|x - p_{x}\| \le \|x - p_{y}\| \le \|x - y\|+\|y - p_{y}\|$, entonces $\|x - p_{x}\| - \|y - p_{y}\| \le \|x - y\|$. Si $x \in S^+$ e $y \in S^-$, entonces $\exists z = \overline{xy} \cap S$ tal que $\|x - p_{x}\| \le \|x - z\|$ y $\|y - p_{y}\| \le \|y - z\|$, entonces $\|x - p_{x}\|+\|y - p_{y}\| \le \|x - y\|$.

3. b_S(x) es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:

El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y f(x) es Lipschitz continua, entonces f(x) es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. b_S(x) es diferenciable en x si y solo si $x \notin \epsilon(S)$ y en ese caso existirá un único p_x tal que $b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\|$ y $\nabla b_{S}(x)=\frac{x - p_{x}}{b_{S}(x)}$.

5. $\|\nabla b_{S}(x)\|=1$, es solución de la ecuacion de la eikonal.

6. $\forall x \in S, N(x) = \nabla b_{S}(x)$, es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de b_S(x) en x.

Demostración:

$S \subset cl(S) = \left\{x \; / \; b_{S}(x)= 0 \right\}$, entonces $N(x)=\frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla b_{S}(x)$

7. H(x) = Δb_S(x) La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:

$H(x) =\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla \nabla b_{S}(x)= \nabla^2 b_{S}(x)= \Delta b_{S}(x)$

Ejemplos

• Distancia a un plano

Para un plano $\Pi \equiv A.x + B.y + C.z + D = 0$ cuyo vector normal es (A,B,C)

$b_{\Pi}(x, y, z)=\frac{A.x + B.y + C.z + D }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

• Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro (a,b,c) y rario r

$b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 }- r$

• distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

$b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2}-r$

Referencias

• Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

Enlaces externos

• [1].