Función trigamma

Este artículo trata sobre la función trigamma. Para la función gamma triple, véase función gamma de Barnes.

Trigamma function ψ₁(z) in the complex plane. The color of a point z encodes the value of ψ₁(z). Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ₁(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

$\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z)$.

Se observa de esta definición que

$\psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)$

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

$\psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},$

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

$\psi_1(z) = \zeta(2,z). \frac{}{}$

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

$\psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,dx\,dy$

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

$\psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx$

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

$\psi_1(1+z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

$\psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}$

y la fórmula de reflexión:

$\psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,$

Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

$\psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K$

$\psi_1\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2}$

$\psi_1(1) = \frac{\pi^2}{6}$

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también

• Función gamma
• Función digamma
• Función poligamma
• Constante de Catalan

Referencias

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
• Weisstein, Eric W. «Trigamma» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.