Función de onda

Función de onda para una partícula bidimensional encerrada en una caja. Las líneas de nivel sobre el plano inferior están relacionadas con la probabilidad de presencia.

En mecánica cuántica, una función de onda $\psi (\vec x;t)$ es una forma de representar el estado físico de un sistema de partículas. Usualmente es una función compleja, de cuadrado integrable y univaluada de las coordenadas espaciales de cada una de las partículas. Las propiedades mencionadas de la función de onda permiten interpretarla como una función de cuadrado integrable. La ecuación de Schrödinger proporciona una ecuación determinista para explicar la evolución temporal de la función de onda y, por tanto, del estado físico del sistema en el intervalo comprendido entre dos medidas (cuando se hace una medida de acuerdo con el postulado IV la evolución no es determinista).

Históricamente el nombre función de onda se refiere a que el concepto fue desarrollado en el marco de la primera física cuántica, donde se interpretaba que las partículas podían ser representadas mediante una onda física que se propaga en el espacio. En la formulación moderna, la función de onda se interpreta como un objeto mucho más abstracto, que representa un elemento de un cierto espacio de Hilbert de dimensión infinita que agrupa a los posibles estados del sistema.

Formulación original de Schrödinger-De Broglie

En 1923 De Broglie propuso la llamada hipótesis de De Broglie por la que a cualquier partícula podía asignársele un paquete de ondas materiales o superposición de ondas de frecuencia y longitud de onda asociada con el momento lineal y la energía:

$p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k \qquad E_k = h\nu = \hbar \omega$

donde $p,\ E_k\;$ son el momento lineal y la energía cinética de la partícula, y $k,\omega \;$ son el vector número de onda y la frecuencia angular. Cuando se consideran partículas macroscópicas muy localizadas el paquete de ondas se restringe casi por completo a la región del espacio ocupada por la partícula y, en ese caso, la velocidad de movimiento de la partícula no coincide con la velocidad de fase de la onda sino con la velocidad de grupo del paquete:

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial E_k}{\partial p} = \frac{\partial E_k(p)}{\partial p} = \frac{p}{m}$

donde E_k(p) = P² / 2m. Si en lugar de las expresiones clásicas del momento lineal y la energía se usan las expresiones relativistas, lo cual da una descripción más precisa para partículas rápidas, un cálculo algo más largo, basado en la velocidad de grupo, lleva a la misma conclusión.

La fórmula de De Broglie encontró confirmación experimental en 1927 un experimento que probó que la ley de Bragg, inicialmente formulada para rayos X y radiación de alta frecuencia, era también válida para electrones lentos si se usaba como longitud de onda la longitud postulada por De Broglie. Esos hechos llevaron a los físicos a tratar de formular una ecuación de ondas cuántica que en el límite clásico macroscópico se redujera a las ecuaciones de movimiento clásicas o leyes de Newton. Dicha ecuación ondulatoria había sido formulada por Erwin Schrödinger en 1925 y es la celebrada Ecuación de Schrödinger:

$-{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi (x,t) + V(x)\psi (x,t) = i \hbar {\partial \psi (x,t)\over\partial t}$

donde $\psi(x,t)\,$ se interpretó originalmente como un campo físico o campo de materia que por razones históricas se llamó función de onda y fue el precedente histórico del moderno concepto de función de onda.

El concepto actual de función de onda es algo más abstracto y se basa en la interpretación del campo de materia no como campo físico existente sino como amplitud de probabilidad de presencia de materia. Esta interpretación, introducida por Max Born, le valió la concesión del premio Nobel de física en 1954.

Formulación moderna de Von Neumann

Los vectores en un espacio vectorial se expresan generalmente con respecto a una base (un conjunto concreto de vectores que "expanden" el espacio, a partir de los cuales se puede construir cualquier vector en ese espacio mediante una combinación lineal). Si esta base se indexa con un conjunto discreto (finito, contable), la representación vectorial es una "columna" de números. Cuando un vector de estado mecanocuántico se representa frente a una base continua, se llama función de ondas.

Formalización

La formalización rigurosa de la función de onda requiere considerar espacios de Hilbert equipados, donde puedan construirse bases más generales. Así para cualquier operador autoadjunto, al teorema de descomposición espectral, permite construir el equivalente de una base vectorial dependiente de un índice continuo (infinito, incontable). Por ejemplo, si se considera el operador de posición $\hat{\mathbf{X}}$, que es autoadjunto sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert convencional $\mathcal{H} \approx L^2(\R^n)$, entonces se pueden construir estados especiales:

$| \mathbf{x} \rangle \notin \mathcal{H} \qquad \hat{\mathbf{X}}| \mathbf{x} \rangle = \mathbf{x}| \mathbf{x} \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad \mathcal{H} \subset \mathcal{H}_e$

Pertenecientes a un espacio equipado de Hilbert $\mathcal{H}_e$, tal que la función de onda puede ser interpretada como las "componentes" del vector de estado del sistema respecto a una base incontable formada por dichos vectores:

$| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(\mathbf{x}) | \mathbf{x} \rangle\,d\mathbf{x}$

Nótese que aunque los estados propios $| \mathbf{x} \rangle$ del operador posición $\hat{\mathbf{X}}$ no son normalizables, ya que en general no pertenecen al espacio de Hilbert convencional del sistema (sino sólo al espacio equipado), el conjunto de funciones de onda sí definen estados en el espacio de Hilbert. Eso sucede porque los estados propios satisfacen:

$| \mathbf{x} \rangle, | \mathbf{x}' \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad \langle \mathbf{x} | \mathbf{x}' \rangle = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$

Puesto que las funciones de onda así definidas, que son de cuadrado integrable, sí forman un espacio de Hilbert isomorfo y homeomorfo al original, el cuadrado del módulo de la función de onda puede ser interpretado como la densidad de probabilidad de presencia de las partículas en una determinada región del espacio.

Un tratamiento análogo al anterior usando vectores propios del operador momento lineal $\hat{\mathbf{P}}$ también pertenecientes a un espacio equipado de Hilbert permiten definir las "funciones de onda" sobre el espacio de momentos. El conjunto de estos estados cuánticos propios del operador momento son llamados en física "base de espacio-k" (en contraposición a la función de onda obtenida a partir del operador posición que se llama "base de espacio-r"). Por la relación de conmutación entre los Operador (mecánica cuántica)operadores posición y momento, las funciones de onda en espacio-r y en espacio-k son pares de transformadas de Fourier.

$\tilde\psi(\mathbf{p}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int_{\R^3} \psi(\mathbf{x}) e^{- i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar}\,d\mathbf{x}$

El nombre espacio-k proviene de que $\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}$, mientras que el nombre espacio-r proviene del hecho de que las coordenadas espaciales con frecuencia se designan mediante el vector $\mathbf{r}$

Problemas de nomenclatura

Por la relación concreta entra la función de ondas y la localización de una partícula en un espacio de posiciones, muchos textos sobre mecánica cuántica tienen un enfoque "ondulatorio". Así, aunque el término función de ondas se use como sinónimo "coloquial" para vector de estado, no es recomendable, ya que no sólo existen sistemas que no pueden ser representados por funciones de ondas, sino que además el término función de ondas lleva a imaginar que hay algún medio que está ondulando en sentido mecánico.

Véase también

• Mecánica cuántica, ecuación de Schrödinger, ecuación de Klein-Gordon, ecuación de Majorana y ecuación de Dirac
• Segunda cuantización y teoría cuántica de campos

Referencias

Bibliografía

• de la Peña, Luis (2006). Introducción a la mecánica cuántica (3 edición). México DF: Fondo de Cultura Económica. ISBN 968-16-7856-7. 

Enlaces externos

• La Relatividad de Escala descubre el Universo como una gran función de onda