Álgebra del espacio físico

Álgebra del espacio físico

En física, el álgebra del espacio físico (AEF) es el Clifford o álgebra geometrica Cl3 del Espacio euclídeo tridimensional, con énfasis en su estructura paravectorial.

El álgebra de Clifford Cl3 tiene una representación fiel, generada por las matrices de Pauli, en la representación de spin C2.

El AEF puede ser usada para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico para la mecánica tanto clásica como cuántica.

El AEF no debe ser confundida con el álgebra del espaciotiempo, que se ocupa del Álgebra de Clifford C1,3(R) del espacio-tiempo de Minkowski cuatridimensional.

Contenido

Relatividad especial

En el AEF, la posición en el espaciotiempo está representada como un paravector


x = x^0 + x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3,

donde el tiempo está dado por la parte escalar t = x0 con c = 1. En la representación con matrices de Pauli los vectores unitarios de la base son reemplazados por las matrices de Pauli y la parte escalar por la matriz identidad. Esto significa que la representación en matrices de Pauli de la posición en el espaciotiempo es


x \rightarrow  \begin{pmatrix} x^0 + x^3 && x^1 - ix^2 \\ x^1 + ix^2 && x^0-x^3
\end{pmatrix}

La cuadrivelocidad es un paravector definido como la derivada respecto al tiempo propio de la posición en el espaciotiempo


 u = \frac{d x }{d \tau} = \frac{d x^0}{d\tau} + 
   \frac{d}{d\tau}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) =
 \frac{d x^0}{d\tau}(1 +  \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)).

Esta expresión puede ser reescrita en una forma mas compacta definiendo la velocidad ordinaria como

 \mathbf{v} =  \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)

y recordando la definición del factor de Lorentz, con lo que la cuadrivelocidad se convierte en


 u = \gamma(1+  \mathbf{v})

La cuadrivelocidad es un paravector unimodular, lo que implica la siguiente condición en términos de la conjugación de Clifford


u \bar{u} = 1

La cuadrivelocidad se transforma bajo la acción del rotor de Lorentz L como


u \rightarrow u^\prime = L u L^\dagger.

Las transformaciones restringidas de Lorentz que preservan la dirección del tiempo y incluyen rotaciones y boosts pueden ser representadas por una exponenciación del biparavector rotación espaciotemporal W


 L = e^{\frac{1}{2}W}

En la representación de matrices el rotor de Lorentz forma un ejemplo del grupo SL(2,C), que es el doble recubriemiento del grupo de Lorentz. La unimodularidad del rotor de Lorentz se traslada a la siguiente condición en términos del producto del rotor de Lorentz con su conjugado de Clifford


L\bar{L} = \bar{L} L = 1

Este rotor de Lorentz puede siempre ser descompuesto en dos factores, uno hermítico B=B^{\dagger}, y el otro unitario R^{\dagger}=R^{-1}, tal que

 
L = B R^{\,}

El elemento unitario R es llamado rotor porque representa las rotaciones y el elemento hermítico B es llamado boost.

El cuadrimomentum en el AEF puede ser obtenido multiplicando la cuadrivelocidad con la masa


p = m u^{\,},

con módulo


 \bar{p}p = m^2

Electrodinámica clásica

El campo electromagnético está representado por un bi-paravector F, con la parte hermítica representando el campo eléctrico y la antihermítica representando el campo magnético. En la representacio de matrices de Pauli estándar, el campo electromagnético es

 F = \mathbf{E}+ i \mathbf{B} \rightarrow
\begin{pmatrix}
  E_3 & E_1 -i E_2 \\ E_1 +i E_2 & -E_3 

 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix}
  B_3 & B_1 -i B_2 \\ B_1 +i B_2 & -B_3 
\end{pmatrix}

El campo electromagnetico se obtiene del paravector potencial A=\phi+\mathbf{A} como


 F = \langle  \partial \bar{A} \rangle_V.

y el campo electromagnetico es invariante bajo una transformación gauge de la forma


A \rightarrow A + \partial \chi,

donde χ es una función escalar.

El campo electromagnetico es covariante bajo transformaciones de Lorentz según la ley


 F \rightarrow F^\prime = L F  \bar{L}


Las ecuaciones de Maxwell pueden ser expresadad en una sola ecuación como sigue


\bar{\partial} F = \frac{1}{ \epsilon} \bar{j},

donde la barra superior representa the conjugación de Clifford y la cuadricorriente está definida como


j = \rho + \mathbf{j}.

El lagrangiano electromagnetico es


L = \frac{1}{2} \langle F F \rangle_S - \langle A \bar{j} \rangle_S,

que es evidentemente un escalar invariante.


La ecuación de la fuerza de Lorentz toma la forma


\frac{d p}{d \tau} = e \langle F u \rangle_{R}

Mecánica cuántica relativista

La ecuación de Dirac toma la forma

 i \bar{\partial} \Psi\mathbf{e}_3  + e \bar{A} \Psi = m \bar{\Psi}^\dagger  ,

donde  \mathbf{e}_3 es un vector unitario arbitrario y A es el paravector potencial que incluye el potencial vector magnético y el potencial escalar eléctrico.

Espinor clásico

La ecuación diferencial del rotor de Lorentz que es consistente con la fuerza de Lorentz es


\frac{d \Lambda}{ d \tau} = \frac{e}{2mc} F \Lambda,

de forma que la cuadrivelocidad se calcula como la transformación de Lorentz de la cuadrivelocidad en reposo


u = \Lambda \Lambda^\dagger,

la cual puede ser integrada para econtrar la trayectoria en el espaciotiempo.

Véase también

  • Paravector
  • Multivector

Referencias

Libros de texto

  • Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
  • W. E. Baylis, editor, Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhäuser, Boston 1996.
  • Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press (2003)
  • David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)

Artículos

  • Baylis, William (2002). Relativity in Introductory Physics, Can. J. Phys. 82 (11), 853--873 (2004). (ArXiv:physics/0406158)
  • W. E. Baylis and G. Jones, The Pauli-Algebra Approach to Special Relativity, J. Phys. A22, 1-16 (1989)
  • W. E. Baylis, Classical eigenspinors and the Dirac equation ,Phys Rev. A, Vol 45, number 7 (1992)
  • W. E. Baylis, Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach ,Phys Rev. A, Vol 60, number 2 (1999)

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Espacio — Saltar a navegación, búsqueda Espacio (del latín spatium) se refiere: Especialmente al espacio físico, en el que se ubican los objetos sensibles; y la extensión que contiene toda la materia existente; la distancia entre dos cuerpos; la distancia… …   Wikipedia Español

  • Espacio de Hilbert — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de… …   Wikipedia Español

  • C*-álgebra — Este artículo o sección sobre matemáticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 5 de julio de 2009. También puedes… …   Wikipedia Español

  • AEF — puede referirse a: Asociación Española de Fotoperiodismo, colectivo de fotógrafos españoles. Fuerza Expedicionaria Estadounidense (acrónimo en inglés: AEF), fuerzas militares estadounidenses enviadas a Europa en la Primera Guerra Mundial. África… …   Wikipedia Español

  • Nilpotente — En matemática, un elemento x de un anillo R se dice que es nilpotente si existe algún entero positivo n tal que xn = 0. Contenido 1 Ejemplos 2 Propiedades 3 Nilpotencia en física …   Wikipedia Español

  • Historia del hardware — La máquina analítica de Charles Babbage, en el Science Museum de Londres. El hardware ha sido un componente importante del proceso de cálculo y almacenamiento de datos desde que se volvió útil para que los valores numéricos fueran procesados y… …   Wikipedia Español

  • ¿Es empírica la lógica? — es el título de dos artículos demostrativos que tratan sobre la posibilidad de que las propiedades algebraicas de la lógica puedan o deban determinarse a partir de hechos. En particular se cuestiona si los fenómenos cuánticos pueden servir de… …   Wikipedia Español

  • Cálculo vectorial — Saltar a navegación, búsqueda El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para… …   Wikipedia Español

  • Campo tensorial — Saltar a navegación, búsqueda Un campo tensorial es una asignación de una aplicación multilineal a cada punto de un dominio del espacio. En física llamamos también campo tensorial a cualquier magnitud física que puede ser representada por una… …   Wikipedia Español

  • Emmy Noether — Amalie Emmy Noether Nacimiento 23 de marzo de 1882 Erlangen, Baviera, Alemania Fallecimiento …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”