Toro (geometría)

Para otros usos de este término, véase Toro.

Animación mostrando un toro siendo cortado por un plano, creando Círculos de Villarceau. Ver Vesica Piscis.

En geometría, un toro es una superficie de revolución generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta). La palabra «toro» proviene del vocablo en latín torus, el cual en castellano significa «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la basa, con forma de hogaza de pan.^{[1] [2]}

Imagen de un toro generada en 3D.

Geometría

Representación en sistema diédrico del toro.

Intersección de un toro y un plano.

El toro genera un hueco en su interior, apropiando la forma semejante a un neumático recargado, o a un dónut o rosquilla. Las coordenadas cartesianas del toro son:

$x = \cos(s) \cdot(R + r \cdot \cos(t))$

$y = \sin(s) \cdot (R + r \cdot \cos(t))$

$z = r \cdot \sin(t)$

donde R y r son constantes, y $s,t \in [0,2\pi)$

Para generar un toro, comenzamos con $X = [0,1] \times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2$.

Sea X ^* un conjunto de elementos:

$\{ x \times 0, x \times 1 \mid 0 < x < 1 \}$

$\{ 0 \times y, 1 \times y \mid 0 < y < 1 \}$

con la colección de cuatro puntos $\{ 0 \times 0, 1 \times 0, 0 \times 1, 1 \times 1 \}$

Las ecuaciones paramétricas del toro son:

x(u, v) = (R + r cos v) cos u

y(u, v) = (R + r cos v) sen u

z(u, v) = r sen v

donde u, v ∈ [0, 2π], R es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, cuando r es el radio del conducto.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

La superficie A y el volumen V del toro son definidos por ecuaciones procedentes de técnicas avanzadas de integración:

$A = 4\pi^2 Rr \,$

$V = 2\pi^2R r^2. \,$

Topología

Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos circunferencias, $S^1\times S^1$

Topológicamente, un toro es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ y con la topología producto.

En topología, un volumen tórico o toro sólido (vollringe) es un objeto tridimensional obtenido mediante el producto cartesiano de un disco y una circunferencia: $D ^2\times S^1$

La superficie descrita, dada la topología relativa de R³, es homeomorfa con el toro topológico mientras éste no intercepte con su propio eje.

El toro puede también describirse como el cociente del ’’Plano euclidiano’’ bajo las tipificaciones

(x, y) ~ (x+1,y) ~ (x, y+1)

Equivalentemente, como el cociente del cuadrado o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ABA ^{− 1}B ^{− 1}.

Esta superficie se considera como el espacio total de un fibrado (trivial), donde el espacio base es la circunferencia S¹.

El grupo fundamental del toro es precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma:

$\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

Intuitivamente, esto significa que un camino cerrado el cual rodea entre ambos, el "orificio" y el "cuerpo" del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente meridionales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.

El primer grupo homológico del toro es isomorfo al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es abeliano).

El toro en n dimensiones

Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias:

$\mathbb{T}^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1$

• el “toro a la 1” es precisamente la circunferencia: S¹.
• el $\mathbb{T}^2=S^1\times S^1$ es el “toro a la 2”,
• el “toro a la 3” puede considerarse como $\mathbb{T}^2\times S^1$, esto es como el producto cartesiano del dos-toro por la circunferencia.
• generalizando, el toro a la n potencia puede describirse como el cociente de Rⁿ con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.

El toro a la n es Rⁿ módulo la acción del grupo enrejado Zⁿ (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el toro a la n se obtiene a partir del n-cubo pegando las caras opuestas.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.

El grupo fundamental de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo homológico de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n sobre k. De esto se deduce que la característica de Euler del toro a la n es 0 para cualquier n. El anillo homológico H^•(Tⁿ,Z) puede identificarse con el álgebra exterior sobre Z-módulo Zⁿ cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia n.

Aplicaciones

Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura:

Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.

En magnetismo, se enrolla una bobina con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un campo magnético dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un imán; se coloca un material ferromagnético en el entrehierro y se imprime una corriente eléctrica por la bobina. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y éste queda magnetizado, formando un imán.

Uno de los sistemas más promisorios para obtener electridad a partir de la fusión nuclear controlada se basa en el confinamiento magnético del plasma a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el tokamak o el Thorus, también muchos aceleradores de partículas recurren a una forma cuasi toroidal.

Resultados

Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el Teorema de los cuatro colores se convierte en Teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.

Curiosidades

En el mundo de los videojuegos de estrategia es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el norte reaparecen en el sur, como si le hubiesen dado la vuelta al mundo. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el oriente, reaparecen en el occidente y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudo impresión de un mundo esférico.

Cientos de objetos cotidianos tienen forma de toro: un dónut, una rosquilla, la cámara de un neumático, etc.

Véase también

• Óvalo de Cassini (Dado por intersecciones entre planos y el toro)
• Toroide
• toro algebraico
• corona circular
• curva elíptica
• período de enrejado
• spira de Perseus
• toro (física nuclear)
• fibrado de Seifert
• E8 (matemáticas)

Referencias

1. ↑ Real Academia Española de la Lengua
2. ↑ Voces arquitectónicas del renacimiento español,G. Herráez http://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=897517

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Toro. Commons
• Creation of a torus ( de Alexander Bogomolny Cut the Knot) — una animación el formato AVI.
• More Torus Images (de Math is Fun)
• Weisstein, Eric W. «Torus» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Torus Games Juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre la topología del toro (en español)