Topología sin puntos

Topología sin puntos

La topología sin puntos es un enfoque de la topología que evita mencionar los puntos. Un espacio topológico tradicional consiste en un conjunto de "puntos", junto con un conjunto de "conjuntos abiertos". Estos conjuntos abiertos forman un reticulado con ciertas propiedades. La topología sin puntos entonces estudia reticulados como éstos abstractamente, sin referencia al conjunto subyacente de puntos. Puesto que algunos de los reticulados así definidos no provienen de espacios topológicos, uno puede ver la categoría de espacios topológicos sin puntos, también llamada de locales, como extensión de la categoría de los espacios topológicos ordinarios. Algunos autores afirman que esta nueva categoría tiene ciertas propiedades naturales que la hacen preferible. Detalles en la relación entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de locales, incluyendo la construcción explícita de la dualidad entre los espacios sobrios y los locales espaciales, pueden ser encontrados en el artículo sobre la dualidad de Stone.

Formalmente, definimos un marco como un reticulado L en el cual cada subconjunto (aún infinito) {ai} tiene un supremo Vai tal que (distribución completa)

b ∧ (V ai) = V (aib)

para todo b y todo conjunto {ai} de L. Estos marcos, junto con los homomorfismos de reticulado que respetan supremos arbitrarios, forman una categoría; la categoría opuesta de la categoría de marcos se llama la categoría de los locales y generaliza la categoría de espacios topológicos. La razón de que tomemos la categoría opuesta es que cada función continua f: XY entre los espacios topológicos induce una función entre los reticulados de conjuntos abiertos en la dirección opuesta: cada conjunto abierto O en Y es mapeado al conjunto abierto f--1(O) en X.

Es posible trasladar la mayoría de los conceptos de la topología de puntos en el contexto de locales, y probar los teoremas análogos. Mientras que muchos teoremas importantes en topología de puntos requieren el axioma de elección, esto no es verdad para sus análogos en teoría de locales. Esto puede ser útil si uno trabaja en un topos que no cumpla el axioma de elección. El concepto de "producto de locales" diverge levemente del concepto de "producto de espacios topológicos", y esta divergencia se ha considerado una desventaja del enfoque de locales. Otros afirman que el producto de locales es más natural y apuntan a varias de sus propiedades "deseables" que no son compartidas por los productos de espacios topológicos.

Véase también álgebra de Heyting. Un local es un álgebra de Heyting completa.


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Topología sin puntos — La topología sin puntos es un enfoque de la topología que evita mencionar los puntos. Un espacio topológico tradicional consiste en un conjunto de puntos , junto con un conjunto de conjuntos abiertos . Estos conjuntos abiertos forman un… …   Enciclopedia Universal

  • Topología — Para otros usos de este término, véase Topología (desambiguación). Ilustración del Teor …   Wikipedia Español

  • Entorno (topología) — Saltar a navegación, búsqueda Un conjunto V en el plano es un entorno de un punto p si un pequeño disco alrededor de p está contenido en V …   Wikipedia Español

  • Teoría del orden — La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las… …   Wikipedia Español

  • Fondo y génesis de la teoría de los topos — Saltar a navegación, búsqueda Esta página presenta de modo amplio la idea matemática de los topos. Ésta es una rama de la teoría de categorías, y tiene reputación de ser abstrusa. El nivel de abstracción involucrado no se puede reducir más allá… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Tychonoff — En topología, el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. El teorema se nombró así por Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien lo probó por primera vez en 1930 para… …   Wikipedia Español

  • Funtores adjuntos — La existencia de muchos pares de funtores adjuntos es una observación importante de la rama de la matemática conocida como teoría de categorías. (La teoría de categorías continúa en cierta forma la visión estructuralista en matemática; ver… …   Wikipedia Español

  • Álgebra de Heyting — En matemáticas, las álgebras de Heyting (Su creador fue Arend Heyting) son conjuntos parcialmente ordenados especiales que constituyen una generalización de las álgebras de Boole. Las álgebras de Heyting se presentan como modelos de la lógica… …   Wikipedia Español

  • Lista de tópicos en teoría de las categorías — Anexo:Lista de tópicos en teoría de las categorías Saltar a navegación, búsqueda Plantilla:Listas Esto es una lista de tópicos en Teoría de categorías. Contenido 1 Categorías concretas 2 Objetos 3 Morfismos …   Wikipedia Español

  • Anexo:Glosario de teoría de categorías — Esto es una lista de tópicos en Teoría de categorías. Contenido 1 Categorías concretas 2 Objetos 3 Morfismos 4 Funtores …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”