Teorema del valor medio de Cauchy

Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones  \textstyle \frac{0}{0} ó \textstyle \frac{\infty}{\infty} .

Contenido

Enunciado

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Si f' y g' no se anulan simultáneamente, entonces existe c \in (a,b) tal que

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \qquad

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostración

  • Sea G(x) una función definida como:

G(x) = [g(b)-g(a)] \cdot [f(x)-f(a)] - [f(b)-f(a)] \cdot [g(x)-g(a)] \,\!

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

G'(x) = [g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)] \cdot g'(x)

y sabiendo que G'(c) es 0

0  = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)

de donde se deduce que

[f(b)-f(a)]\cdot g'(c) = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)

  • Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}

Q.E.D.

Consecuencias

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de  \textstyle \frac{0}{0} ó \textstyle \frac{\infty}{\infty} .

Referencias


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