Teorema de las fuerzas vivas

El teorema de las fuerzas vivas es un teorema importante en el contexto de la mecánica clásica, en especial dentro del campo de la dinámica y de los análisis energéticos. También es conocido como teorema de la energía cinética.

Enunciado

El teorema de las fuerzas vivas establece que:

El trabajo realizado por una fuerza aplicada a una partícula al desplazarse ésta bajo la acción única de esa fuerza es igual al cambio que experimenta la energía cinética de dicha partícula. Esto es,:

$W = \Delta E_c = E_{c2} - E_{c1}\,$

Este teorema es válido tanto en el ámbitio de la Mecánica Clásica como en el de la Mecánica Relativista de partículas.

Sin embargo, en la mecánica de medios continuos o deformables necesita ser reformulado, ya que un sólido deformable sobre el que se realiza trabajo puede almacenar energía en forma de energía potencial elástica o disiparla por deformación plástica, sin que el trabajo realizado se convierta en energía cinética. De hecho para un sistema que incluya medios continuos deformables, en el que se conserve la energía se puede definir el incremento de energía interna como:

$\Delta U = W - \Delta E_c\,$

Por lo que el teorema de las fuerzas vivas original afirmaría que para una cuerpo no deformable, el trabajo realizado sobre él no produce incrementos de energía interna, siendo todo el trabajo igual al incremento de energía cinética.

Demostración

En el ámbito de la mecánica newtoniana resulta fácil demostrar este el teorema de las fuerzas vivas para una fuerza aplicada a una partícula:

$W_{1\to2} = \int_{r_1}^{r_2} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{r_1}^{r_2} m\mathbf a\cdot d\mathbf r = \int_{r_1}^{r_2} m\frac{d\mathbf v}{dt}\cdot d\mathbf r = m\int_{v_1}^{v_2} \mathbf v\cdot d\mathbf v =$

$\dots = m \left [\frac{v^2}{2} \right]_{v_1}^{v_2} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = E_{c2} - E_{c1}= \Delta E_c$

Siendo $E_{c} \equiv \frac{1}{2}mv^2$ la energía cinética de la partícula.

La demostración anterior es válida para la mecánica relativista con cambios triviales:

$W_{1\to2} = \int_{r_1}^{r_2} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_{r_1}^{r_2} \frac{d\mathbf p}{dt}\cdot d\mathbf r = m\int_{p_1}^{p_2} \mathbf v\cdot d\mathbf p = \int_{v_1}^{v_2} \frac{mc^2\mathbf v}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\cdot d\mathbf v$

$\dots = \left [ \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right ]_{v_1}^{v_2} = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} - \frac{mc^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} = (E_{c2} + mc^2) - (E_{c1}+ mc^2) = \Delta E_c$

Diversas consideraciones

• Si $W_{1\to2} > 0$: El trabajo motor conlleva un aumento de la velocidad de la partícula.
• Si $W_{1\to2} < 0$: El trabajo resistente implica una disminución de la velocidad de la partícula.

Obviamente, las unidades de trabajo y de energía cinética son las mismas: joule (J)

Referencia

Bibliografía

Enlaces externos