Teorema de Rivlin-Ericksen

El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.

Enunciado del teorema

El teorema afirma que si $\mathbf{C}$ es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por:

$T = \mathbf{C}(F) = \bar{\mathbf{C}} (FF^{T})$

Donde:

$\bar{\mathbf{C}}:\mathbf{S_{>3}\subset{M_3}} \to \mathbf{S_3}\subset{\mathbf{M_3}}$

$\bar{\mathbf{C}}(E) = \beta_0(\iota_E)I + \beta_1(\iota_E)E + \beta_2(\iota_E)E^2$

$\mathbf{M_{3}}$, conjunto de matrices de 3×3.
$\mathbf{S_{3}}$, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
$\mathbf{S_{>3}}$, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
ι_E, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.

Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FF^T y el tensor deformación espacial (de Almansi) D_e es simplemente:

$B = FF^{T} = (I-2D_e)^{-1}\,$

Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo:

$T = \beta_0(\iota_B)I + \beta_1(\iota_B)(I-2D_e)^{-1} + \beta_2(\iota_B)(I-2D_e)^{-2}\,$

Sólidos elásticos lineales e isótropos

Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por:

$T = \mathbf{C}(I+2D) = \lambda tr(D)I + 2\mu D$

Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene:

$\beta_0(\iota_D) = \lambda tr(D) - \mu ; \qquad \beta_1(\iota_D) = \mu ; \qquad \beta_2(\iota_E) = 0 \,$

Enlaces externos

• Contribuciones de Rivlin a la mecánica de la fractura

Bibliografía

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254-255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 - 1280, URL: http://taylorandfrancis.metapress.com/link.asp?id=ekncnam7bkr24tb9