Teorema de Gelfond-Schneider

En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond en 1934 y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider, en 1935. El teorema Gelfond–Schneider es una respuesta parcial al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado

Si α y β son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo $\alpha\neq 0,1$), y si β no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

Comentarios

• Los valores de α y β no se restringen sólo a números reales; se admiten todos los números complejos.
• En general, α^β = exp{βlog α} es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
• La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si α y γ son números algebraicos diferentes de cero, y $\alpha \neq 1$, entonces (log γ) / (log α) es (real) racional o trascendente.
• Si se elimina la restricción de que β sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse α = 3 y β = log 2 / log 3, que es trascendente, y α^β = 2, que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un α^β trascendente.

Uso del teorema

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

• Los números $2^{\sqrt{2}}$ (la constante de Gelfond-Schneider) y $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ (véase demostración no constructiva).
• El número e^π (constante de Gelfond), dado que e^π = exp{ − ilog( − 1)} es uno de los valores de ( − 1) ^{− i}.

Véase también

• Teorema de Lindemann–Weierstrass
• Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass

Referencias

• Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956