Teorema de Cayley-Hamilton

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.

En términos matriciales, eso significa que :

si A es una matriz cuadrada de orden n y si

$p(X)= \det(A-XIn) = X^n + p_{n-1}X^{n-1} + \ldots + p_1 X + p_0$

es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:

$p(A)= A^n + p_{n-1}A^{n-1} + \ldots + p_1 A + p_0 I_n = 0_n.\;$

El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.

Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

Motivación

Este teorema tiene dos familias de uso:

• Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
• Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.

Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.

Demostración

Efectuamos la demostración sobre la matriz A. Definamos la matriz B(X) = ^tcom(XI − A). Sabemos que

$\quad (XI-A).B(X)= \det(XI-A).I=P(X).I$

Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que P(X).I es divisible por la izquierda por XI − A. Esto implica entonces que el valor a la derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se obtiene B(X).(XI − A) = det(XI − A).I) del polinomio P(X).I para X = A es nula. Este valor sólo es P(A), lo que termina la demostración.

Véase también Polinomio de endomorfismo para otra demostración.

Ejemplo

Consideremos por ejemplo la matriz

$A = \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}$.

El polinomio característico se escribe

$p(X)=\det\begin{pmatrix}X-1&-2\\ -3&X-4\end{pmatrix}=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^2-5X-2.$

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que

A² − 5A − 2I₂ = 0

y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

A² − 5A − 2I₂ = 0

A² = 5A + 2I₂

Así, por ejemplo, para calcular A⁴, podemos escribir

A³ = (5A + 2I₂)A = 5A² + 2A = 5(5A + 2I₂) + 2A = 27A + 10I₂

y llegamos a

A⁴ = A³A = (27A + 10I₂)A = 27A² + 10A = 27(5A + 2I₂) + 10A

A⁴ = 145A + 54I₂.

Podemos utilizar también la relación polinomial inicial A² − 5A − 2I₂ = 0 para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y

A(A − 5I) = 2I₂

lo que demuestra que A admite como inverso

$A^{-1} = \frac12 (A-5I)$