Teorema de Bolzano

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En análisis real el teorema de Bolzano es una propiedad de las funciones reales continuas definidas en un intervalo. El teorema afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

En palabras más vulgares, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente: Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b está en el otro lado del río (tiene valor positivo) y la gráfica es continua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río), con lo que podemos decir que para cruzar el río uno se ha de mojar.

Este teorema está íntimamente relacionado con los teoremas de Rolle y del valor medio.

Enunciado y demostración

El teorema de Bolzano establece que:

Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.

El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo demuestra que como mínimo existe uno.

Demostración 1: Para demostrarlo, suponemos que f(a)<0 y f(b)>0 (se demuestra análogamente para el caso contrario).

Suponemos un conjunto K, que contiene todos los puntos x del intervalo [a, b] que verifican que f(x)<= 0. (K es distinto de vacío, ya que f(a)<0).

Ese conjunto tiene un supremo c puesto que K es compacto de acuerdo a su definición.

Ahora basta demostrar que f(c)= 0, por definición de K.

Supongamos f(c)≠0, ello implica que hay un intervalo (c-h, c+h) en el que f(x) y f(c) tienen el mismo signo. Esto no puede pasar, porque contradice la definición de c. Luego tiene que ser f(c)=0.

Demostración 2: Sean X e Y dos espacios topológicos y $f:X \longrightarrow Y$ una función continua entre ellos. Entonces si $A\subset X$ es un subconjunto conexo de X, f(A) es un subconjunto conexo de Y. Demostración: Es sencillo, suponiendo que f(A) no es conexo, significa que existen U y V abiertos de X no vacíos y disjuntos tales que $f(U)\cup f(V)=f(A)$, como la función es continua tenemos que $f^{-1}(f(U)\cup f(V))=A$ y por ser disjuntos tenemos, $U\cup V = A$ con U y V no vacíos, luego A no sería conexo lo que prueba el lema.

Ahora el Teorema de Bolzano es sencillo porque como [a,b] es un intervalo conexo y la función es continua, el intervalo [f(a),f(b)] debe ser conexo, si suponemos que no existe un valor c en [a,b] tal que f(c) = 0 significa que $0\notin [f(a),f(b)]$ lo que implicaría que, al ser [f(a),f(b)] conexo o bien 0 < f(a) y 0 < f(b) o bien 0 > f(a) y 0 > f(b) lo que entra en contradicción con la hipótesis que f(a)f(b) < 0, así pues queda probado el teorema.

Aplicaciones

1: Demostrar que una función f(x) corta al eje OX en un determinado intervalo.

2: Demostrar que dos funciones se cortan en un punto.

Para demostrar que la función f(x) y la función g(x) se cortan en al menos un punto estableceré la función h(x) como:

h(x)=f(x) - g(x).

Mediante la aplicación del teorema de Bolzano podré establecer que estas funciones se cortan en un punto c perteneciente a un intervalo concreto:

h(c)=0

f(c) - g(c)=0

f(c)=g(c)

Calcular el valor de c

Si f(x) es continua en el intervalo [a,b] es posible calcular el valor de c que verifique que f(c) = 0 utilizando el teorema de Bolzano, y será la solución de la siguiente sucesión:

$\left \{ \begin{matrix} x_0 =a \\ x_{n+1}=x_n + \frac{f(a)\cdot f(x_n) \cdot |a-b|}{|f(a)| \cdot |f(x_n)| \cdot (n+2)} \end{matrix} \right.$

Véase también

• Teorema del valor intermedio

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1991). Calculus. 1 (2ª edición). Reverté. ISBN 9788429150025.