Tabla de valores de verdad

Tabla de valores de verdad

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Una tabla de valores de verdad, o tabla de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.^[1]

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Definición y algoritmo fundamental

Considérese dos proposiciones A y B.^[2] Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

$\begin{array}{|c|c|} \hline A & B \\ \hline 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \hline \end{array}$

Considérese además a "$* \,$" como una operación o conjunción lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ A & B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ A & B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B & A\!*\!B \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función $* \,$.

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

Definiciones en el Cálculo lógico de Deducción Natural

De todas estas posibles funciones de verdad, algunas parecen tener correlatos en el lenguaje natural. Por ejemplo, la función definida en la columna 8, que devuelve 1 sólo cuando los valores de verdad de A y de B son ambos 1, se asemeja a la expresión "y" del lenguaje natural. Por ejemplo, cuando se dice que llueve y hace frío, esa afirmación es verdadera sólo cuando es verdad tanto que llueve como que hace frío. Si es verdad que llueve, pero no que hace frío, entonces no es verdad que llueve y hace frío. Del mismo modo, si no es verdad que llueve, pero sí que hace frío, entonces no es verdad que llueve y hace frío. Y por último, si no es verdad ni que llueve ni que hace frío, entonces está claro que no es verdad que llueve y hace frío.

Esta interpretación de las conexiones lógicas ligadas a funciones gramaticales del lenguaje natural constituye el fundamento del Cálculo de deducción natural en el que suelen definirse las siguientes funciones:

Negación

La negación es un operador que opera sobre un único valor de verdad, típicamente el valor de verdad de una proposición, devolviendo el valor de verdad verdadero si la proposición es falsa, y falso si la proposición es verdadera.

La tabla de verdad de la negación es la siguiente:

$\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Condicional material

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

Bicondicional

El bicondiconal es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, o cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \leftrightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Tablas de verdad

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A /\ (B \/ C).

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B \/ C aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B \/ C, (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa A /\ (B \/ C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

1	2	3	4	5
A	B	C	B\/C	A/\(B\/C)
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	F
F	V	F	V	F
F	F	V	V	F
F	F	F	F	F

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/\(B\/C) es V y cuándo es F

Contradicción

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5) Aplicamos en la columna siguiente (Columna 6) el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A/\B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A\/B).(Columna 6) Por último (Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3) con la columna última (Columna 7)cuyo resultado nos da los valores de [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C, siempre falsos cualquiera que sea la fila que consideremos.

1	2	3	4	5	6	7	8
A	B	C	A/\B	A\/B	¬(A\/B)	(A/\B)/\¬(A\/B)	[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C
V	V	V	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	V	F	F	F
F	V	F	F	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	F	F
F	F	F	F	F	V	F	F

Tautologías

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: [(A→B)/\(B→C)] →(A→C)

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

A	B	C	A→B	B→C	(A→B)/\(B→C)	(A→C)	[(A→B)/\(B→C)] →(A→C)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos

Artículo principal: Cálculo

Artículo principal: Cálculo lógico

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

• La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

• Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

Aplicaciones

Lógica de circuitos

La aplicación más importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 en el sentido:

Valor 1: corriente eléctrica

Valor 0: ausencia de dicha corriente.

Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo puede producir una salida 0 o 1 según unas condiciones definidas como función según las tablas definidas anteriormente.

Así se establecen las siguientes funciones: AND, NAND, OR, XOR NOR, que se corresponden con las funciones definidas en las columnas, 8, 9, 2, 10 Y 15 respectivamente, y la función NOT.

En lugar de variables proposicionales consideramos gráficamente los posibles input como EA, EB, y los correspondientes outputs de SALIDA como 1, 0.

NOT

EA	EB
1	0
0	1

EA	EB	AND	NAND	OR	XOR	NOR
1	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	1	0
0	1	0	1	1	1	0
0	0	0	1	0	0	1

Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a velocidades increíbles, llamadas por lo mismo computadoras u ordenadores.

El desarrollo de estos circuitos y su estructuración merece verse en el artículo puerta lógica.

La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Asi mismo se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos.

Véase también

• Operador lógico
• Anexo:Tabla de símbolos matemáticos
• Lenguaje formalizado
• Álgebra de Boole
• Cálculo lógico
• Lógica binaria
• Lógica proposicional
• Puerta lógica
• Función lógica

Notas y referencias

1. ↑ «truth table» (en inglés). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. Consultado el 8 de octubre de 2009.
2. ↑ Las letras A y B son metavariables, es decir que simbolizan cualquier proposición, atómica o no, del lenguaje de la lógica proposicional.

Enlaces externos

http://www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad

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