Suma de Ramanujan

Este artículo trata sobre la suma de Ramanujan. Para otros usos de este término, véase Sumatorio de Ramanujan.

En matemáticas la, suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define

$c_q(n)=\sum_{a=1\atop (a,q)=1}^qe\left(\frac{an}{q}\right),$

donde n y q son enteros positivos, (a,q) son el máximo común divisor de a y q, y e(x) es la función exponencial exp(2πix).

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, p.e.

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

$c_q(n)=\mu(q/d)\frac{\phi(q)}{\phi(q/d)}.$

Series relacionadas con la suma de Ramanujan

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

$\sum_{q=1}^\infty a_qc_q(n)$

para diversas secuencias (a_q).^[1] En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

$\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},$

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

$\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q}=0$

y

$\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q^2}=\frac{6}{\pi^2}\frac{\sigma_1(n)}{n}$

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

$\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q}\log(q)=-\sigma_0(n)$

y

$\sum_{q=1}^\infty(-1)^{q-1}\frac{c_{2q-1}(n)}{2q-1}=r_2(n),$

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.

Referencias

1. ↑ Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, G. H. Hardy, Cambridge University Press, 1940