Semigrupo

Un semigrupo es una estructura algebraica de la forma $(A,\circ)$ donde A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna $\circ$. Un semigrupo cumple las siguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo $\circ$, el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir: $\forall x, y \in A : \quad x \circ y \in A$.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: $\forall x, y, z \in A: \quad x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \;$.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circ$ si: $\forall a, b \in A: \quad a \circ b = b \circ a \;$

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplo

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales:N con la operación suma: +. Que se representa: $(N,+) \,$, podemos ver:

Es un operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro numero natural:

$\forall a, b \in N : \quad a + b \in N$.

Es asociativa:

$\forall a, b, c \in N: \quad (a + b) + c = a + (b + c) \;$.

Y conmutativa:

$\forall a, b \in N : \quad a + b = b + a$.

Luego $(N,+) \,$ es semigrupo conmutativo o abeliano.

Véase también

Grupo Monoide Semigrupo Magma Operación matemática Operación interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico