Rigidez

Rigidez

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En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

$K_i = \frac{F_i}{\delta_i}$

Para barras o vigas se habla así de rigidez axial, rigidiez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

Rigideces de prismas mecánicos

El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de:

1. La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se necesiten vigas con mayor sección y más grandes.
2. El material del que esté fabricada la barra, si se frabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor módulo de Young (E).
3. La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricadas del mismo material, la barras más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.

Funcionalmente las rigideces genéricamente tienen la forma:

$K_i = \alpha_i \frac{ES_i}{L^{\beta_i}}$

Donde: S_i es una magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y forma de la sección transversal, E es el módulo de Young, L es la longitud de la barra y α_i y β_i son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se está examinando.

Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elástico dentro de una estructura.

Rigidez axial

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transveral (A), el módulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

$K_{ax} = \frac{N_x}{\delta_x} = \frac{EA}{L}$

Rigidez flexional

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

$K_{flex,y} = \frac{M_y}{\theta_y} = \frac{EI_y}{L} \qquad K_{flex,z} = \frac{M_z}{\theta_z} = \frac{EI_z}{L}$

Donde I_z,I_y son los segundos momentos de área de la sección transversal de la barra.

Rigidez frente a cortante

La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las direcciones principales:

$K_{cort,y} = \frac{V_y}{\delta_y} = \frac{12EI_y}{L^3} \qquad K_{cort,z} = \frac{V_z}{\delta_z} = \frac{12EI_z}{L^3}$

Rigidez mixta flexión-cortante

En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el momento flector no es constante sobre una barra prismática aparecen también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexión que para una barra recta resulta ser igual a:

$K_{mcf,y} = \frac{6EI_y}{L^2} \qquad K_{mcf,z} = \frac{6EI_z}{L^2}$

Rigidez torsional

La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación entre el momento torsor aplicado en un de sus extremos y el ángulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

$K_{tors} = \tau_{tors} = \frac{M_x}{\theta_x} = \frac{GJ}{L}$

Donde G el módulo elástico transversal, J es el momento de inercia torsional y L la longitud de la barra.

Rigideces en placas y láminas

DE manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces dependen del material y de la geometría, en este caso el espesor de la placa o lámina. Las rigideces en este caso tienen la forma genérica:

$K_i = \alpha_i \frac{Eh^{\beta_i}}{(1+\nu)^{\delta_i}(1-\nu)^{\epsilon_i}}$

Donde:

$E, \nu\,$ son respectivamente el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.

$h\,$ es el espesor del elemento bidimensional.

$\beta_i\,$ es un entero y $\{\delta_i, \epsilon_i\} \subset \{0,1\}$.

Rigidez de membrana

La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en el caso de elementos lineales viene dada por:

$C = \frac{Eh}{(1-\nu^2)} = \frac{2Gh}{(1-\nu)}$

Donde E es el módulo de Young, G es el módulo elástico transversal y ν el coeficiente de Poisson.

Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:

$D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$

Donde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y ν coeficiente de Poisson del material de la placa.

Véase también

• Constante elástica
• Método matricial de la rigidez

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