Resultante

Resultante

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En matemáticas, la resultante de dos polinomio mónico P y Q sobre un cuerpo k se define como el producto:

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,$

de las diferencias de sus raíces, donde x y y toma valores en la clausura algebraica de k. Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes p y q, respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

$p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,$

Computación

• La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.

• El productorio anterior puede ser reescrito como

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{Q(y)=0} P(y)\,$

y esta expresión permanece invariante si P se reduce módulo Q.

• Sea $P' = P \mod Q$. La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de P' y Q. Sin embargo, P' tiene un conjunto de raíces diferentes de las de P. Esto puede ser resuelto escribiendo $\prod_{Q(y)=0} P'(y)\,$ como un determinante otra vez, donde P' tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante q de Q aparece.

$\mathrm{res}(P,Q) = q^{\deg P - \deg P'} \cdot \mathrm{res}(P',Q)$

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Propiedades

• $\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)$
• $\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)$
• Si P' = P + R * Q y degP' = degP, entonces res(P,Q) = res(P',Q)
• Si X,Y,P,Q tienen el mismo grado y $X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q$,

entonces $\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)$

• res(P ₋ ,Q) = res(Q ₋ ,P) donde P ₋ (z) = P( − z)

Aplicaciones

• Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean f(x,y) = 0 y g(x,y) = 0 definiendo unas curva algebraica en $\mathbb{A}^2_k$. Si f y g son vistos como polinomios en x con coeficientes en k(y), entonces la resultante de f y g es un polinomio en y cuyas raíces son las coordenadas y de la intersección de las curvas.

• En teoría de Galois, las resultantes pueden ser usadas para calcular normas.

Referencias

• Mathworld

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